- Paar, geordnetes
- Siehe geordnetes Paar.
- Parallel
- Eine endliche Menge von Vektoren heißt parallel oder kollinear,
wenn alle ihre Elemente, als Ortsvektoren aufgefasst, auf einer Geraden liegen.
Das ist genau dann der Fall, wenn es (zumindest) einen unter ihnen gibt,
so dass alle anderen seine Vielfachen sind.
- Parallelepiped
- ist der von drei räumlichen Vektoren aufgespannte
Körper (die dreidimensionale Verallgemeinerung des Parallelogramms). Sein
Volumsinhalt ist gleich dem Absolutbetrag des Spatprodukts der drei Vektoren.
- Parallelogramm
- ist ein Viereck, in dem gegenüberliegende Seiten zueinander parallel sind.
Siehe den Exkurs unter klassische Geometrie.
- Parallelogrammfläche
- Der Flächeninhalt des von den zwei ebenen Vektoren
a = (a1, a2)
und b = (b1, b2)
aufgespannten Parallelogramms ist durch
|a1b2 - a2b1|
gegeben.
- Parallelogrammregel
- Die Addition von Vektoren kann geometrisch durch das
Hintereinanderhängen (Schaft an Spitze) der entsprechenden Vektor-Pfeile
durchgeführt werden. Die Rechenregel
a + b = b + a
führt zeichnerisch auf ein Parallelogramm, in dessen Diagonale
die Summe der beiden Vektoren liegt.
- Parameterdarstellung einer Ebene
- In Verallgemeinerung der Parameterdarstellung einer Geraden
drückt jene der Ebene die Punkte der Ebene durch zwei frei wählbare Parameter aus:
Ist
A ein Punkt einer Ebene, und sind
u und v
zwei Vektoren, die beide innerhalb der Ebene liegen und nicht zueinander parallel sind,
so liegt für jede reelle Wahl von
t und s
der Punkt
x(t, s) =
A + tu + sv
auf der Ebene.
Auf diese Weise entspricht jedem Punkt der Ebene genau ein Parameter-Wertepaar
(t, s).
- Parameterdarstellung einer Geraden
- ist eine in der analytischen Geometrie
benötigte Beschreibungsform für Geraden in der Zeichenebene
und Geraden im Raum.
Ist A
ein Punkt einer Geraden, und ist
u ein Richtungsvektor, so liegt für jedes
reelle t
der Punkt
x(t) = A + tu
auf der Geraden. Auf diese Weise entspricht jedem Punkt der Geraden genau ein Wert des Parameters
t.
Die Parameterdarstellung ist insbesondere für die Beschreibung von Geraden im Raum
und für die Ermittlung von Schnittpunkten von Geraden mit Ebenen
unersetzlich. Siehe auch Lagebeziehungen von Ebenen und Geraden,
Durchstoßpunkt und
Lagebeziehungen von Geraden im Raum.
- Parameter einer Familie von Funktionen
- werden die (beliebigen, aber festgehaltenen) Konstanten genannt, die in der Darstellung einer Familie von Funktionen auftreten.
- Parameter einer Familie von Gleichungen
- werden die (beliebigen, aber festgehaltenen) Konstanten genannt, die in einer Gleichung
auftreten. So stellt beispielsweise x2 + px + q = 0
für jede Wahl von p und q
eine Gleichung dar. Damit ist also nicht eine Gleichung, sondern eine ganze
Familie (oder Schar) von Gleichungen definiert, deren Parameter
p und q sind.
- Parameter (Parameterdarstellung)
- Bei der
Parameterdarstellung einer Geraden bezeichnet das Wort Parameter
eine Variable, die Punkte auf einer Geraden repräsentiert (d.h. eine Identifizierung der
Geraden mit der Menge der reellen Zahlen ermöglicht).
Bei der Parameterdarstellung einer Ebene sind zwei
derartige Parameter nötig, da die Ebene zweidimensional ist.
- Parametrisierung einer Geraden
- ist die Identifizierung der Geraden mit der Menge der reellen Zahlen, wie es in der
Parameterdarstellung geschieht.
- Partialbruchzerlegung
- als Integrationsmethode ist ein systematisch anzuwendendes Schema, mit dessen Hilfe die
Stammfunktion jeder rationalen Funktion
berechnet werden kann.
- Partielle Integration
- ist eine auf der Produktregel beruhende Integrationsmethode.
Ist F eine Stammfunktion von
f und g
eine differenzierbare Funktion, so gilt
für unbestimmte Integrale (Stammfunktionen)
òf(x)g(x)dx =
F(x)g(x)
-
òF(x)g'(x)dx
und für bestimmte Integrale
òabf(x)g(x)dx =
F(x)g(x)|ab
-
òabF(x)g'(x)dx.
- Pascalsches Dreieck
- ist ein Zahlenschema, welches aus den Koeffizienten besteht, die sich durch das
Ausmultiplizieren der Terme
(a + b)n
für
n = 0, 1, 2, 3, 4...
ergeben. Es ist gemäß einer einfachen Regel aufgebaut.
Siehe auch Binomialkoeffizienten.
- Periodisch
- heißt eine Funktion
f : R ® R ,
wenn es eine positive Zahl p gibt, so dass für alle
xÎR
gilt: f(x + p)
= f(x).
Die Zahl p heißt dann Periode oder
Periodenlänge. Mit wachsendem x
"wiederholt sich" eine periodische Funktion (und daher ihr Graph) immer wieder.
Die wichtigsten periodischen Funktionen besitzen eine kleinste Periode. Beispiele: die Winkelfunktionen
sin, cos, tan und cot.
- Periodische Dezimalzahlen
- Siehe Dezimaldarstellung.
- Peripheriewinkelsatz
- Zwei Peripheriewinkel über demselben, von zwei Punkten begrenzten Kreisbogen sind gleich groß.
Anders ausgedrückt: Die Strecke zwischen den Begrenzungspunkten eines Kreisbogens wird von jedem Punkt dieses Kreisbogens
aus unter demselben Winkel "gesehen".
Dieser Winkel ist entweder gleich dem halben Zentriwinkel (Mittelpunktswinkel) oder 180° minus dem halben Zentriwinkel,
je nachdem, ob der Kreisbogen größer oder kleiner als der Halbkreisbogen ist.
Umgekehrt liegen alle Punkte, von denen aus eine gegebene Strecke unter einem gegebenen
Winkel "gesehen" wird, auf einem Kreisbogenpaar.
Der Satz ist eine Verallgemeinerung des Satzes von Thales.
- Permutation
- Eine "Permutation von n Elementen" ist eine bijektive Funktion
s : M ® M,
wobei M die Menge
{1, 2, ... n} ist.
Beispielsweise ist durch
s(1) = 2,
s(2) = 1,
s(3) = 3
eine Permutation von 3 Elementen definiert, deren Wirkung darin besteht, die ersten beiden Elemente zu vertauschen.
- Permutationen, Anzahl
- Eines der Resultate der Kombinatorik lautet:
Es gibt genau n! Permutationen
von n Elementen (siehe Faktorielle). Anders ausgedrückt:
Es gibt n! Möglichkeiten, n (unterscheidbare) Objekte auf
n (unterscheidbare) Plätze zu verteilen.
- Permutationen mit Gruppen nicht unterscheidbarer Elemente
- Eines der Resultate der Kombinatorik lautet:
n Objekte werden in m Gruppen vom Umfang n1,
n2,... nm zusammengefasst
(n1 + n2 + ... + nm = n).
Objekte innerhalb einer Gruppe sind nicht unterscheidbar, Objekte aus verschiedenen Gruppen sind unterscheidbar.
Es gibt
n!/(n1! n2! ... nm!)
(unterscheidbare) Möglichkeiten, diese n Objekte
auf n Plätze zu verteilen (siehe Faktorielle).
- Pfeildarstellung von Vektoren
- Vektoren können geometrisch als Pfeile gedeutet werden,
wobei die Koordinatendifferenzen zwischen den beiden Enden eines
solchen Pfeils (Schaft und Spitze) gerade die Komponenten des Vektors sind.
Zwei Vektor-Pfeile, die gleich lang sind und in dieselbe Richtung zeigen, stellen denselben Vektor dar.
Etwas schlampig wählen wir manchmal einen Pfeil aus und nennen ihn einen Vektor.
Ein Vektor-Pfeil kann als
Verbindungsvektor, Verschiebungsvektor und
Ortsvektor interpretiert werden.
- Phase einer harmonischen Schwingung
- Siehe harmonische Schwingung.
- Poissonprozess
- ist der der Poissonverteilung zugrunde liegende zeitliche Ablauf.
- Poissonverteilung
- Die Poissonverteilung ist eine diskrete Wahrscheinlichkeitsverteilung.
Sie beschreibt Ereignisse, die unabhängig voneinander in jedem (beliebig kleinen) Zeitintervall eintreten
können und kann als Grenzfall aus der Binomialverteilung
erhalten werden.
- Pol
- oder Polstelle einer reellen (oder komplexen) Funktion f
ist eine Unendlichkeitsstelle besonderen Typs:
f besitzt bei
x0 eine Polstelle (oder kurz: einen Pol), wenn
1/f an dieser Stelle eine
Nullstelle mit wohldefinierter Ordnung besitzt.
Diese Ordnung wird auch die Ordnung des Pols genannt.
Der Graph von f besitzt an der Polstelle eine zur vertikalen Achse parallele
Asymptote.
Alle Unendlichkeitsstellen von rationalen Funktionen,
sowie von rationalen Kombinationen von
Winkelfunktionen, Exponential- und
Logarithmusfunktionen, sind Pole.
Die Pole einer rationalen Funktion sind die Nullstellen des Nenners, sofern
zuvor alle Definitionslücken entfernt worden sind.
- Polarkoordinaten
- (genauer: ebene Polarkoordinaten) bilden ein
krummliniges Koordinatensystem
in der Zeichenebene. Ist ein
kartesisches
xy-Koordinatensystem gegeben, so sind die
Polarkoordinaten r
und f
eines Punktes P folgendermaßen definiert:
- r ist der Abstand des Punktes
P vom (durch das kartesische Koordinatensystem
definierten) Ursprung.
- f ist der Winkel, unter dem man, im Ursprung "stehend"
den Punkt P relativ zur Richtung der positiven
x-Achse "sieht". Dieser Winkel wird im
Gegenuhrzeigersinn gemessen und kann im Bereich
0° £ f < 360°
variieren. (Beachten Sie: ein Winkel von 360° bedeutet dasselbe wie 0°).
Er wird Polarwinkel genannt.
|
Liegt P im Ursprung, so hat der Winkel
f keinen wohldefinierten Wert, aber davon abgesehen, steckt im Paar
(r, f)
genausoviel Information wie in den kartesischen Koordinaten
(x, y),
d.h. genau die Information über die Position des Punktes
P.
Siehe auch Koordinatenlinien und
Koordinatensystem.
Zur Umrechnung der Polarkoordinaten
in kartesische Koordinaten (und umgekehrt) werden Winkelfunktionen benötigt.
- Polarkoordinaten, Umrechnung in kartesische Koordinaten
- Aus der Definition der Winkelfunktionen ergibt sich unmittelbar
x = r cos f und
y = r sin f.
Umgekehrt werden die Polar- aus den kartesischen
Koordinaten mittels
r2 = x2 + y2 und
tan f = y/x
berechnet. Ist
x > 0, so ist
f durch
atan(y/x)
gegeben, ansonsten ist noch 180° (im Bogenmaß p)
hinzuzufügen (oder abzuziehen, was auf dasselbe hinausläuft).
- Polarwinkel
- Siehe Polarkoordinaten.
- Polynom
- Ein Polynom ist ein Term, der von einer oder mehreren
Variablen abhängt und aus diesen (und Zahlen) mit
Hilfe der Operationen Multiplikation, Addition und Subtraktion gewonnen werden kann (m.a.W. eine Summe von Monomen).
Beispiele für Polynome sind:
5 u5 + 4
u3 - 7
u2 +
u - 1
(Polynom in einer Variablen u)
5 a4
b3 + 4
a3
b4 - 7
a2 +
b + 6
a2 - 1
(Polynom in zwei Variablen a und b)
Hängt ein Polynom von einer Variablen ab, so wird die höchste
auftretende Potenz dieser Variable als Ordnung oder Grad des Polynoms bezeichnet.
Ein Polynom n-ter Ordnung (n-ten Grades)
in der Variablen x
kann geschrieben werden als
an
xn +
an-1
xn-1 + ... +
a2 x2 +
a1 x +
a0 ,
wobei die Zahlen
ai
Koeffizienten heißen.
Ein Polynom zweiter Ordnung heißt quadratisch,
ein Polynom dritter Ordnung heißt kubisch. Ein Polynom erster Ordnung wird manchmal als
linear bezeichnet (obwohl nach einer anderen Sprechweise diese Bezeichnung
für den Fall eines Polynoms erster Ordnung mit a0 = 0
reserviert ist).
Als Polynome werden auch die Funktionen bezeichnet, die
durch solche Terme dargestellt
werden (deren genauere Bezeichnung Polynomfunktionen ist).
- Polynome, ihre Nullstellen und Graphen
- Ein Reihe allgemeiner Sätze kann bei der Untersuchung von
Polynomfunktionen helfen, wenngleich es für höhere
Ordnungen oft nicht möglich ist, exakte Aussagen zu erzielen.
- Das wichtigste Resultat besagt, dass jedes Polynom p,
das bei x0 eine Nullstelle besitzt,
in der Form
p(x) =
(x - x0)
q(x)
geschrieben werden kann, wobei q ebenfalls ein Polynom ist.
Man sagt: Für jede Nullstelle x0 lässt sich der Linearfaktor
x - x0
abspalten. (Für Polyome zweiter Ordnung folgt diese Aussage unmittelbar aus dem
Vietaschen Satz).
Daraus ergibt sich eine Methode, die Nullstellen eines Polynoms dritter Ordnung zu berechnen,
wenn eine Nullstelle bekannt ist (z.B. erraten wurde), d.h. ein Verfahren zur Lösung
kubischer Gleichungen, das sich insbesondere
bei der Bewältigung von Mathematik-Aufgaben besonderer Beliebtheit erfreut.
- Ist q(x0) = 0,
so kann das Verfahren noch einmal angewandt werden, und nach einer endlichen Zahl von Schritten
gelangt man zur Darstellung
p(x) =
(x - x0)n
h(x),
wobei n eine natürliche Zahl und
h ein Polynom mit
h(x0) ¹ 0 ist.
Nahe der Nullstelle (für x » x0) ist
p(x) »
c(x - x0)n
mit c = h(x0).
Daher besitzt jede Nullstelle eines Polynoms eine wohldefinierte Ordnung
n.
- Jedes Polynom der Ordnung m besitzt
höchstens m Nullstellen.
Jedes Polynom ungerader Ordnung besitzt (zumindest) eine Nullstelle.
|
Diese Zusammenhänge werden im Exkurs
ausführlicher dargestellt.
Weiters werden globale Eigenschaften, die für das Verständnis der
Graphen von Polynomfunktionen relevant sind
und ohne die Methoden der Differentialrechnung auskommen
(insbesondere Symmetrieeigenschaften,
asymptotisches Verhalten, Monotonie und
Konvexitätsverhalten) diskutiert.
- Polynomfunktion
- auch ganzrationale Funktion genannt, ist eine Funktion, deren
Termdarstellung ein Polynom
ist. Oft sagt man kurz "Polynom" dazu.
Nullstellen und Graphen von Polynomfunktionen
niedriger Ordnung zu ermitteln, zählt zu den besonders häufig gestellten Mathematik-Aufgaben.
- Polynom(funktion) dritter Ordnung
- bedeutet dasselbe wie Funktion dritter Ordnung.
- Polynom(funktion) erster Ordnung
- bedeutet dasselbe wie Funktion erster Ordnung.
- Polynom(funktion) zweiter Ordnung
- bedeutet dasselbe wie Funktion zweiter Ordnung.
- Potenz
- Eine Potenz ist ein Ausdruck der Form
am
(ausgesprochen "a hoch n").
Dabei heißt a Basis und
m Exponent (oder Hochzahl).
Ist m eine natürliche Zahl,
so bezeichnet am
das m-fache Produkt
von a mit sich selbst
("die m-te Potenz von a"):
a × a × ... × a.
Man sagt auch: "a wird zur m-ten
Potenz erhoben".
Darüber hinaus kann der Begriff der Potenz für allgemeinere Exponenten erweitert werden:
-
Mittels a0 = 1
(also auch 00 = 1) und
a-m =
1/am
(für natürliche m)
werden ganzzahlige Exponenten zugelassen
(a ¹ 0).
- Für jede natürliche Zahl q
bezeichnet a1/q
die
q-te Wurzel
von a (siehe höhere Wurzeln),
d.h. jene positive Zahl, deren q-te Potenz
a ist
(a ³ 0).
Durch Hinzunahme der Definition
a p/q =
(a p)1/q =
(a1/q) p
für natürliche p, q
wird der Begriff der Potenz auf rationale Exponenten ausgedehnt
(a ³ 0
bzw. a > 0).
- Eine Erweiterung auf beliebige reelle Exponenten ist möglich.
- Auch eine Erweiterung auf komplexe Exponenten
(sowie auf komplexe Basen) ist möglich.
|
Diese Erweiterungen sind der Identität
am + n =
am
a n
zu verdanken. Für natürliche Exponenten drückt sie lediglich das Abzählen von Faktoren in
Produkten aus, aber sie gilt ganz allgemein und ist sowohl für die theoretische Analyse als auch fürs praktische Rechnen bedeutsam.
Hier einige weitere
Mit Potenzen verbundene Typen von Funktionen sind:
Anstelle von am
wird manchmal auch die Schreibweise
a^m
verwendet. Das Wort "Potenz" wird bisweilen in quantifizierender Form gebraucht:
z.B. die "höchste Potenz" (in einem Polynom),
womit "der größte Exponent" gemeint ist.
- Potenzen mit reellen Exponenten
- Eine Potenz
ax
(einer positiven Basis a) kann
für jedes beliebige reelle x
definiert werden, indem zunächst anstelle von x
eine Folge rationaler Zahlen, die sich beliebig nahe an
x annähern, betrachtet wird.
Die Folge der mit diesen rationalen Zahlen gebildeten Potenzen von a
streben einer bestimmten reellen Zahl zu, die als ax
definiert wird. Sie ist unabhängig davon, welche rationale Zahlen zur
Annäherung an x
gewählt werden. Die Rechenregeln für den Umgang mit Potenzen
bleiben bestehen, wenn reelle Exponenten zugelassen werden.
Der Grund für diese Verallgemeinerung des Potenzbegriffs:
Die Abhängigkeit einer Potenz (bei festgehaltener Basis a)
von ihrem Exponenten x definiert eine
Exponentialfunktion. Um diese als
Funktion
R ® R
betrachten zu können, muss klar sein, was eine Potenz mit einem beliebigen reellen Exponenten ist.
Andererseits kann der (reelle) Exponent festgehalten und die Abhängigkeit einer
Potenz von ihrer Basis betrachtet werden. Dies definiert eine
Potenzfunktion mit reellem Exponenten.
- Potenzfunktionen, Ableitungen
- Die allgemeine Regel zur Berechnung der Ableitung einer Potenzfunktion lautet
( xn ) ' = n xn - 1.
Sie gilt für alle reellen Werte von n.
Konkrete Beispiele entnehmen Sie
Tabelle.
- Potenzfunktion mit ganzzahligem Exponenten
- ist eine Funktion, deren
Termdarstellung eine Potenz,
d.h. von der Form
x ®
xn ist,
wobei n eine fix vorgegebene ganze Zahl ist.
Der Definitionsbereich einer solchen Funktion (im Rahmen der reellen Zahlen) hängt von
n ab:
- Ist n ³ 0,
so ist die Funktion für alle reellen Zahlen definiert.
- Ist n < 0,
so ist die Funktion für alle von Null verschiedenen reellen Zahlen definiert.
Spezialfälle: Für n = 1 ergibt sich
die identische Funktion
x ®
x,
für n = 0 ergibt sich
die konstante Funktion
x ®
1, und
für n = -1 ergibt sich
die Funktion
x ®
1/x, die jedem
x seinen Kehrwert zuordnet.
Steckbrief der Funktionen
x ®
xn
für
und
ganzzahliges n.
- Potenzfunktion mit reellem Exponenten
- ist eine Funktion, deren
Termdarstellung eine Potenz mit reellem Exponenten,
d.h. von der Form
x ®
xm ist,
wobei m eine fix vorgegebene reelle Zahl ist.
Steckbrief der Funktionen
x ®
xm
für
und
reelles nicht-ganzzahliges m.
- Potenzmenge
- wird die Menge aller
Teilmengen einer gegebenen Menge genannt.
Hat eine endliche Menge
n Elemente, so hat ihre Potenzmenge
2n Elemente.
Jede Menge (also auch jede unendliche Menge)
ist nicht gleichmächtig zu ihrer
Potenzmenge. Wird von einer unendlichen Menge die Potenzmenge, dann die Potenzmenge der
Potenzmenge, davon wider die Potenzmenge - usw. - gebildet, so ergibt sich eine Folge von Mengen, die zwar alle
unendlich viele Elemente haben, aber dennoch sukzessive ''immer größer'' werden.
- p-q-Form der quadratischen Gleichung
- Siehe Quadratische Gleichung.
- Primzahlen
- sind jene natürlichen Zahlen größer als 1,
die - außer 1 und sich selbst - keinen Teiler
besitzen, d.h. die sich - außer durch 1 und sich selbst - durch keine andere
natürliche Zahl ohne Rest dividieren lassen.
Primzahlen sind also jene natürlichen Zahlen, die nicht Vielfache
kleinerer natürlicher Zahlen sind.
Primzahlen sind in gewisser Wiese die ''Bestandteile'' der natürlichen Zahlen:
siehe Primfaktorzerlegung.
Die ersten Primzahlen sind 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, ...
Listen von Primzahlen lassen sich systematisch durch das
Sieb des Eratosthenes konstruieren.
Obwohl es ziemlich einfach ist, zu sagen, was Primzahlen sind, ist die mathematische Theorie,
die sich ihnen widmet, sehr schwierig und weist noch viele offene Fragen auf. Seit der
Antike ist bekannt, daß es unendlich viele Primzahlen gibt.
Ein Beispiel für ein offenes Problem ist, ob es unendlich viele
''Primzahlzwillinge'' (wie 17, 19 oder 29, 31) gibt.
- Primfaktorzerlegung
- Jede natürliche Zahl größer als 1
kann in eindeutiger Weise als Produkt von Primzahlen geschrieben werden
(die Primfaktoren heißen).
In diesem Sinn sind die Primzahlen die ''Bestandteile'' der natürlichen Zahlen.
Beispiel: 45 = 32 × 5, wobei der Faktor 3 mit Vielfachheit 2 auftritt.
Die Primfaktorzerlegung ist wichtig für die Ermittlung des
größten gemeinsamen Teilers und des
kleinsten gemeinsamen Vielfachen zweier oder mehrerer natürlicher
Zahlen, welche wiederum beim Bruchrechnen eine Rolle spielen.
- Probleme der Mengenlehre
- Die Idee der Menge als Zusammenfassung wohldefinierter
Objekte klingt zunächst sehr einfach und einleuchtend. Das trifft
für den hier behandelten Unterrichtsstoff auch zu, hält aber einem Blick in die
Tiefe nicht stand:
Die uneingeschränkte Erzeugung von Mengen, wie etwa die ''Menge aller Mengen'',
führt auf Widersprüche (sogenannte Antinomien).
Besonders leicht ist einzusehen, daß die ''Menge aller Mengen, die sich nicht
selbst als Element enthalten'' ein in sich widersprüchliches Konzept ist.
Entdeckungen dieser Art haben seit dem Beginn des 20. Jahrhunderts
(beginnend mit Ernst Zermelo) zu einem Überdenken der Grundlagen der Mathematik
geführt. In der axiomatischen Mengenlehre wird versucht,
Regeln für den Umgang mit Mengen auf formale Weise aus möglichst wenigen
Grundannahmen (Axiomen) herzuleiten, sodaß Objekte wie die
''Menge aller Mengen'' gar nicht erst auftreten.
Ein sehr oft (und auch hier) vertretener Standpunkt ist der, die
intuitiven Anschauungen (genannt ''naive Mengenlehre'') zuzulassen,
problematische Konstruktionen wie die ''Menge aller Mengen'' (oder auch
Mengen, die sich selbst als Element enthalten) aber zu vermeiden.
- Produkt
- Siehe Multiplikation.
- Produktregel
- Die Ableitung eines Produkts zweier
differenzierbarer Funktionen
kann mit Hilfe der Formel
( f(x) g(x)) '
= f '(x) g(x) + f(x) g'(x) |
|
aus den Ableitungen der Faktoren berechnet werden.
- Pythagoräischer Lehrsatz
- Siehe Satz von Pythagoras.
|
|