- R2
- ist die Menge aller Paare
(x, y)
aus reellen Zahlen. Sie stellt eine mathematische Formalisierung der
Zeichenebene dar.
Jedes Element des R2
entspricht einem Punkt, wenn die beiden Eintragungen
x
und y als
Koordinaten bezüglich eines kartesischen
Koordinatensystems
interpretiert werden.
Das Symbol R2
steht für das kartesische Produkt der Menge
R der reellen Zahlen
mit sich selbst,
R ×
R.
Die natürliche Verallgemeinerung dieser Idee auf höhere Dimensionen führt zum
R3
(der Menge aller reellen Zahlentripel)
als Formalisierung des dreidimensionalen Raumes
und, ganz allgemein, zum Rn,
der Menge aller reellen "n-Tupel".
- Radiant
- Siehe Bogenmaß.
- Radiokarbonmethode
- ist ein Verfahren zur Altersbestimmung mit Hilfe des
Kohlenstoffisotops C14, das mit einer
Halbwertszeit von 5730 Jahren zerfällt (siehe exponentielle Abnahme).
t Jahre nach dem Tod eines Organismus ist die
Zahl der in ihm enthaltenen C14-(Atom)Kerne um den Faktor
2-t/5730
gesunken. Beträgt dieser Faktor (der durch chemisch-physikalische Untersuchung eines
Funstücks ermittelt wird) beispielsweise in einem konkreten Fall 0.3, so
ist muss eine Exponentialgleichung
gelöst werden, um das Alter als
t =
-5730 × 2log 0.3 »
9328 Jahre zu bestimmen.
- Radiusvektor
- ist eine Bezeichnung für den Ortsvektor eines "allgemeinen" Punktes,
d.h. eine Zusammenfassung mehrerer Variablen. So ist er beispielsweise in der Ebene durch
x = (x, y)
gegeben.
- Rationale Funktion
- ist eine Funktion, die als Quotient zweier Polynomfunktionen
darstellbar ist. Nachdem so viel wie möglich gekürzt wurde
(und allfällige Definitionslücken
verschwunden sind), kann eine rationale Funktion in der Form
f
 (x)
= p(x)/q(x)
geschrieben werden, wobei die beiden Polynome p und q
keine gemeinsamen Nullstellen besitzen, also nicht mehr weiter gekürzt werden können. Ist der Nenner q von mindestens
erster Ordnung, so wird f
auch gebrochen rationale Funktion genannt (ansonsten handelt es sich einfach um ein Polynom).
Rationale Funktionen können neben Nullstellen auch
Pole und Asymptoten besitzen, und
deren Ermittlung zählt zu den besonders häufig gestellten Mathematik-Aufgaben.
Siehe auch Asymptoten einer rationalen Funktion.
Unter einer rationalen Kombination einer Menge von Funktionen wird das Bilden einer
Funktion verstanden, die aus den gegebenen (unter Hinzunahme beliebiger reeller Zahlen)
durch die Grundrechnungsarten (inklusive Division, aber ohne Wurzelziehen)
hervorgeht. In diesem Sinn ist jede rationale Funktion eine rationale Kombination der identischen Funktion.
- Rationale Zahlen
- sind jene reellen Zahlen, die sich als Quotient zweier ganzer Zahlen schreiben
lassen. Daher werden sie oft auch als Bruchzahlen bezeichnet: Jede rationale
Zahl ist von der Form
m/n,
wobei m und n
ganze Zahlen sind.
Es lässt sich zeigen, daß die rationalen Zahlen genau jene
reellen Zahlen sind, deren Dezimaldarstellung
abbricht (d.h. von einer bestimmten Stelle an nur Nullen aufweist) oder
periodisch ist (d.h. von einer bestimmten Stelle an aus einer immer wiederholten
Zifferngruppe besteht).
Die Menge aller rationalen Zahlen wird mit Q bezeichnet.
Es gibt sehr viele rationale Zahlen: Zwischen je zwei verschiedenen reellen Zahlen
(d.h. Punkten auf der Zahlengeraden) liegen unendlich viele rationale Zahlen. Daher
wird die Menge Q als ''dicht'' bezeichnet.
Dennoch gibt es sehr viel mehr reelle Zahlen als rationale: Die Menge
Q ist abzählbar,
d.h. ihre Elemente können ''durchnumeriert'' werden, im Gegensatz zur
Menge R der reellen Zahlen.
Da die Menge Q die Zahlengerade
nicht ''ganz ausfüllt'', wird sie als ''nicht-vollständig'' bezeichnet.
- Rechenschieber
- Siehe Logarithmus.
- Rechenstab
- Siehe Logarithmus.
- Rechte-Hand-Regel
- Siehe Vektorprodukt.
- Rechtsgekrümmt
- Eine differenzierbare Funktion
f heißt in einem
Intervall rechtsgekrümmt, wenn ihre Ableitung
f ' in ihm streng monoton fallend ist.
(Siehe auch linksgekrümmt).
Damit ergibt sich ein einfaches Kriterium zur praktischen Berechnung:
Ist für alle x in einem Intervall
f ''(x) < 0,
so ist f in diesem
Intervall rechtsgekrümmt. (Siehe auch Monotonie und Ableitung).
Eine rechtsgekrümmte Funktion ist konkav (nach unten offen).
Zeigt eine Funktion in zwei aneinander grenzenden Intervallen verschiedenes Krümmungsverhalten,
so liegt zwischen diesen Intervallen eine Wendestelle.
- rechtshändig
- Siehe Rechtssystem.
- Rechtsschraubenregel
- Siehe Vektorprodukt.
- Rechtsseitige Ableitung
- einer reellen Funktion f an der Stelle x
ist der Grenzwert
des Differenzenquotienten, wobei die Annäherung
an die Stelle x von "rechts"
(d.h. von "oben") her erfolgt. Ist x
eine Randstelle des Definitionsbereichs, so kann nicht von der Ableitung im
strengen Sinn, sondern nur von der rechts- oder
linksseitigen Ableitung gesprochen werden.
Für eine differenzierbare Funktion stimmen
rechts- und linksseitige Ableitung überein.
- Rechtssystem
- oder rechtshändiges System ist ein System aus drei dreikomponentigen
(räumlichen) Vektoren
a, b
und c (in dieser Reihenfolge) mit der Eigenschaft, dass
a
 Ùb
und c einen spitzen Winkel bilden.
Das ist genau dann der Fall, wenn das Spatprodukt des Systems positiv ist.
Ein Beispiel ist die dreidimensionale Standardbasis.
Ganz allgemein bilden a,
b und
aÙb
ein Rechtssystem, sofern a und
b nicht parallel sind.
Siehe auch Händigkeit.
- Rechtwinkeliges Dreieck
- wird ein Dreieck genannt, wenn es einen rechten Winkel (90°)
besitzt. Die dem rechten Winkel gegenüberliegende Seite ist die längste und wird Hypotenuse,
die beiden anderen werden Katheten genannt. Oft wird die Hypotenuse mit c,
die Katheten mit a und b
bezeichnet. In jedem rechtwinkeligen Dreieck gelten
der Satz von Pythagoras,
der Kathetensatz und der Höhensatz.
Rechtwinkelige Dreiecke treten weiters im Satz von Thales auf.
- Regel von de l'Hospital
- Diese Regel hilft,
Grenzwerte unbestimmter Formen zu berechnen.
Besitzen die stetig differenzierbaren Funktionen
f und g
eine gemeinsame Nullstelle oder eine gemeinsame Unendlichkeitsstelle
x0, so gilt
| |
|
f(x)
g(x) |
= |
|
|
f '(x)
g'(x) |
, |
| lim |
lim |
| x ® x0 |
x ® x0 |
|
wobei lediglich vorausgesetzt ist, dass der Grenzwert auf der rechten Seite existiert.
Beispiel 1:
limx
® 0
( sin x)/x =
limx
® 0
( cos x)/1 =
1.
Beispiel 2:
limx
® 0 ( ex - 1)/x =
limx
® 0 ex/1 =
1.
Damit können auch Näherungsformeln
hergeleitet und Wachstumsvergleiche von Funktionen durchgeführt
werden. Die Stelle x0 darf durch
¥ oder -¥
ersetzt werden.
- Reelle Funktion
- nennt man eine Funktion, deren
Definitionsbereich und Wertebereich
die Menge R oder
Teilmengen von R sind.
- Reelle Zahlen
- sind Dezimalzahlen mit beliebiger Dezimaldarstellung.
Diese Zahlen bilden einen der Grundpfeiler der modernen Mathematik.
Auch die meisten der im Unterrichtsstoff auftretenden Zahlen sind von diesem Typ,
und die Lösung vieler Problemstellungen muß ihre Eigenschaften berücksichtigen.
Die Menge aller reellen Zahlen wird mit R bezeichnet,
die Menge aller positiven reellen Zahlen mit
R+, die Menge aller nicht-negativen
reellen Zahlen mit R0+
und die Menge aller von Null verschiedenen reellen Zahlen mit
R* .
Auf der Menge der reellen Zahlen sind die Operationen Addition und
Multiplikation definiert, aus denen sich Subtraktion
und Division
ergeben (siehe auch Kehrwert und Division durch 0).
Addition und Multiplikation sind durch das Distributivgesetz
(Klammern auflösen) miteinander verbunden.
Geometrisch werden reelle Zahlen als Punkte auf der Zahlengeraden gedeutet.
Zusammenhängende Teilmengen von R,
d.h. der Zahlengerade, heißen Intervalle.
Die Menge R wird von MathematikerInnen als
vollständig bezeichnet, da sie (im Gegensatz zu der Menge der rationalen Zahlen)
die Zahlengerade "ganz ausfüllt".
Die Menge R ist so groß, daß ihre
Elemente nicht ''durchnumeriert'' werden können. Daher heißt sie
überabzählbar.
(Ein leicht verständlicher Beweis dieser Tatsache ist das Cantor'sche
Diagonalverfahren).
Eine immer wiederkehrende wichtige Eigenschaft von
R ist, daß
das Quadrat jeder reellen Zahl nicht-negativ ist. Daher besitzen
Quadratische Gleichungen (und auch Gleichungen
höherer Ordnung) über
R nicht immer Lösungen
(wie z.B. die Gleichung x2 = - 1).
Eine wichtige Zahlenmenge, die die reellen Zahlen verallgemeinert, und in der
Quadrate auch negativ sein können,
sind die komplexen Zahlen.
In manchen Texten werden die reellen Zahlen nicht von Beginn an als Dezimalzahlen
eingeführt, sondern aus der kleineren Menge der rationalen Zahlen konstruiert.
Wenn Sie in Lehrbüchern die Begriffe
"Intervallschachtelung" und "Dedekind'sche Schnitte"
lesen, so dienen sie zumeist diesem Zweck.
Wir gehen hier nicht näher darauf ein.
Wichtige Teilmengen von R
sind die natürlichen Zahlen, die ganzen Zahlen,
die rationalen Zahlen und die irrationalen Zahlen.
- Relative Häufigkeitsverteilung
- Statistische Beobachtungsdaten liegen oft in Form einer relativen Häufigkeitsverteilung
vor. Dabei wird erhoben, wie oft bestimmte Ereignisse auftreten, wenn ein Experiment (z.B. eine Befragung
mit vorgegebenen Antwortmöglichkeiten) mehrmals (z.B. an verschiedenen Personen) durchgeführt wird.
Gibt es eine Größe, die reelle Zahlen als Werte annehmen kann, und
hängt ihr Wert vom Ausgang des Experiments (z.B. von der Antwort) ab, so können ihr
Mittelwert, ihre empirische Varianz und ihre empirische Standardabweichung berechnet werden
und geben einen gewissen Aufschluss über ihre statistischen Eigenschaften.
Relative Häufigkeitsverteilung werden mathematisch durch
diskrete oder kontinuierliche Wahrscheinlichkeitsverteilungen
modelliert. Siehe auch diskrete Zufallsvariable.
- Relativ prim
- Siehe teilerfremd.
- Rest
- Seien n und k
zwei natürliche Zahlen. Versucht man,
n durch k
zu dividieren, so stößt man auf folgende Struktur:
Es gibt immer zwei (eindeutig bestimmte) Zahlen
m, r Î N mit
0 £ r < k, sodaß
n =
k m +
r.
Die Zahl r heißt Rest.
Ist r = 0, so ist der Quotient
n/k
genau m, also eine natürliche Zahl.
Andernfalls ist r gerade der ''Rest'', der
Ihnen bei händischer Division ''übrigbleibt''.
Das Vorhandensein eines von 0 verschiedenen Rests ist dafür verantwortlich, daß
k kein
Teiler von n ist
(oder, m.a.W., daß
n kein
Vielfaches von k ist).
Das Konzept des Rests kann auf den Fall ausgedehnt werden, daß
n negativ ist.
Dann darf auch m negativ sein,
doch es ist eine sinnvolle Konvention, vom Rest r
nach wie vor 0 £ r < k zu verlangen.
- Restklassen
- Sei p eine natürliche Zahl.
Man kann - ohne in Widersprüche zu geraten - beim
Addieren und Multiplizieren
von ganzen Zahlen jede auftretende Zahl durch den Rest,
der sich bei Division durch p ergibt,
ersetzen.
Ist etwa p = 3,
so wird nicht mehr zwischen 2 und 5 unterschieden!
Das kann auch in der Form 5 = 2 mod(3) (gesprochen: ''5 ist gleich 2 modulo 3'') ausgedrückt werden.
Unter diesem Gesichtspunkt gibt es nur drei verschiedene Zahlen, nämlich 0, 1 und 2,
(denn bereits 3 wird mit 0 identifiziert, 4 mit 1 usw).
Diese drei Objekte heißen Restklassen modulo 3.
Tatsächlich steht 0 nicht nur für die Zahl 0, sondern für alle ganzzahligen
Vielfachen von 3 (1 steht für alle ganzen
Zahlen, die bei Division durch 3 den Rest 1 ergeben, und 2 steht für alle ganzen
Zahlen, die bei Division durch 3 den Rest 2 ergeben). Daher heißen sie ''Klassen''.
Die Menge der Restklassen modulo 3 hat also 3 Elemente und wird als
Z3 bezeichnet.
Genau dasselbe kann mit jeder natürlichen Zahl p
gemacht werden, was zur Menge
Zp
der Restklassen modulo p
führt.
Falls p eine
Primzahl ist, kann innerhalb dieser Menge sogar
dividiert werden. (Sie hat dann die Struktur
eines Körpers).
- Reziproker Wert
- Siehe Kehrwert.
- Richtungsvektor
- ist eine Bezeichnung für einen Vektor, dessen Aufgabe es ist,
eine Richtung anzugeben. Der Begriff wird ein bisschen schlampig auch für Verbindungsvektoren
verwendet und ist dann als Gegenstück zum Ortsvektor gemeint.
- Richtungsvektor einer Geraden
- ist ein Vektor (vorzustellen als Pfeil), der die Richtung einer Geraden
angibt.
- Riemann-Integral
-
Die präzise Ausformulierung der Idee des
bestimmten Integrals als Grenzwert von Summen erfolgte historisch zum ersten Mal
im 19. Jahrhundert durch Bernhard Riemann.
Riemanns Konstruktion besteht darin, eine auf einem Intervall
[a, b]
gegebene reelle Funktion von unten und von oben
durch Treppenfunktionen einzuzwicken.
Mit Hilfe deren Integrale, der Untersummen und Obersummen,
wird definiert, wann eine Funktion (Riemann-)integrierbar ist.
Für stetige Funktionen lässt sich das bestimmte Integral als Grenzwert einer Folge von
Rechtecksflächen (den so genannten Riemann-Summen) darstellen.
Daraus ergeben sich Möglichkeiten zur numerischen Approximation bestimmter Integrale.
Riemann-Summen können auch dazu benutzt werden, um intuitive Argumentationen mit
infinitesimalen Größen durch exakte zu ersetzen.
- Riemann-Summe
- Siehe Riemann-Integral.
- round
- ist die Bezeichnung für das "kaufmännische" Rundungsverfahren:
round x
ist diejenige ganze Zahl, die x am
nächsten liegt, wobei halbzahlige Werte zwischen zwei ganzen Zahlen aufgerundet werden.
- Rundungsverfahren
- stellen unstetige Funktionen dar.
Die gebräuchlichsten sind: round (kaufmännisch runden),
floor (immer abrunden) und ceil (immer
aufrunden).
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