- Variable
- Der Begriff der Variablen hat mehrere Schattierungen, deren einfachste sich
so formulieren lässt:
Eine Variable ist ein abstraktes Symbol (üblicherweise ein Buchstabe),
an Stelle dessen konkrete Zahlen (oder sonstige mathematische Objekte) eingesetzt werden
können. Daher wird sie auch Platzhalter genannt.
Der Name kommt daher, daß man sich nicht auf eine konkrete Zahl festgelegt hat,
also die eingesetzte Zahl "variabel" hält.
Variable sind jene Größen, aus denen Terme aufgebaut sind.
Sie treten in
Gleichungen als "Unbekannte" und in
Funktionen in der Gestalt von "unabhängigen Variablen" auf.
- Variablensubstitution
- oder Variablentransformation in Integralen: Siehe Substitutionsmethode.
- Varianz einer diskreten Zufallsvariablen
- Die Varianz (auch das Schwankungsquadrat) einer Zufallsvariable a in einer
diskreten Wahrscheinlichkeitsverteilung ist
gegeben durch
s2
= (a1 - <a>)2 p1 +
(a2 - <a>)2 p2 + ...,
wobei die pk die Wahrscheinlichkeiten der Verteilung,
die ak die Werte der
Zufallsvariablen a für die einzelnen
Versuchsausgänge sind und
< a>
den Erwartungswert von a bezeichnet.
Die Varianz kann auch in der Form
s2
= < (a - <a>)2 >
= < a2 > -
<a>2
definiert (und berechnet) werden.
Andere Schreibweisen für diese Ausdrücke sind
E((a - E(a))2)
und E(a2) - E(a)2.
Die Varianz ist die für eine gegen unendlich strebende Zahl von Versuchdurchführungen
vorausgesagte empirische Varianz
(siehe auch Wahrscheinlichkeit und relative Häufigkeit).
Die Quadratwurzel aus der Varianz ist die Standardabweichung.
- Variation mit Wiederholung
- Eines der Resultate der Kombinatorik lautet:
Es gibt
nk
Möglichkeiten, k aus n
Objekten auszuwählen und in eine Reihenfolge zu bringen, wobei ein Objekt mehrmals gewählt werden darf.
- Variation ohne Wiederholung
- Eines der Resultate der Kombinatorik lautet:
Es gibt
n!/(n - k)!
Möglichkeiten, k aus n
Objekten auszuwählen und in eine Reihenfolge zu bringen, wobei ein Objekt nur einmal gewählt werden darf
(siehe Faktorielle).
- Vektor
- genauer reeller Vektor, ist eine Liste reeller Zahlen, den Komponenten,
angeschrieben in Zeilen- oder Spaltenform, beispielsweise
a = (3, -2, 4).
Wir kennzeichnen Vektoren durch Fettdruck.
Ein Vektor a kann geometrisch durch Pfeile dargestellt (repräsentiert) werden.
Man unterscheidet verschiedene Deutungen:
- Als Verbindungsvektor wird er durch einen Pfeil dargestellt, der zwei gegebene Punkte
verbindet.
- Als Verschiebungsvektor definiert er eine Verschiebung (Translation) aller Punkte des Raumes
entlang des Pfeiles, der ihn darstellt.
- Als Ortsvektor bestimmt er den Ort eines Punktes, indem
(Vektor-)Komponenten mit (Punkt-)Koordinaten identifiziert werden. Ist P ein
Punkt, so schreiben wir seinen Ortsvektor als P.
Er kann als Verbindungsvektor vom Ursprung nach P
interpretiert werden.
Zwei- und dreikomponentige (zwei- und dreidimensionale) Vektoren heißen auch ebene und räumliche
Vektoren. Für manche Zwecke werden Vektoren mit mehr als drei Komponenten betrachtet.
Vektoren werden manchmal "gerichtete Größen" genannt, im Gegensatz zu
Skalaren (Zahlen) als "ungerichteten Größen".
Ein besonderer Vektor ist der Nullvektor 0, dessen Komponenten
alle gleich 0 sind.
Die breite Anwendbarkeit der Vektorrechnung verdankt sich dem Zusammenspiel
geometrischer Sachverhalte mit einer Reihe einfach zu handhabender Rechenoperationen:
- Die Multiplikation eines Vektors mit einem Skalar (d.h. das Bilden des Vielfachen) wird komponentenweise
berechnet. Geometrisch entspricht das dem "Aufblasen" ("Schrumpfen") des ihn darstellenden Pfeiles.
- Die Addition zweier Vektoren wird komponentenweise berechnet.
Geometrisch entspricht die Summe zweier Vektoren einem Pfeil, der durch
das Hintereinanderhängen (Schaft an Spitze) der entsprechenden Pfeile
der Summanden zustande kommt. (Siehe auch Parallelogrammregel).
- Die Differenz zweier Vektoren wird komponentenweise berechnet. Ihre geometrische Bedeutung
wird durch die Spitze-minus-Schaft-Regel ausgedrückt.
- Der Betrag eines Vektors ist die Länge des ihn repräsentierenden Pfeiles.
(Siehe auch Einheitsvektor und Normierung).
- Das Skalarprodukt macht aus zwei Vektoren einen Skalar und erlaubt es, Winkelbeziehungen
zwischen Vektoren zu analysieren.
- Das Vektorprodukt macht aus zwei räumlichen Vektoren einen dritten und hängt mit
dem Volumen sowie mit den Begriffen "links" und "rechts" zusammen.
Die Rechenoperationen der Multiplikation mit einem Skalar und der Vektoraddition erlauben die
Bildung beliebiger Linearkombinationen. Mit Hilfe dieses Begriffs wird definiert, wann eine Menge von Vektoren
linear abhängig ist und was das Wort Dimension eigentlich bedeutet.
- Vektoraddition
- Siehe Vektor.
- Vektorprodukt
- Sind a und b
zwei dreikomponentige (räumliche) Vektoren, so ist
aÙb
(ausgesprochen "a keil b")
jener Vektor, der auf a und b
normal steht, dessen Betrag gleich dem Flächeninhalt des von
a und b aufgespannten
Parallelogramms ist und der die Rechtsschraubenregel (Rechte-Hand-Regel) erfüllt:
Drehen wir a auf kürzestem Weg in b
und denken uns diese beiden Vektoren mit einer Schraube verbunden, so zeigt
aÙb
in die Bewegungsrichtung der Schraube.
Das Vektorprodukt kann mit Hilfe der Formel
aÙb =
|
⎛ |
a2b3
- a3b2 |
⎞ |
|
⎜ |
a3b1
- a1b3 |
⎟ |
⎝ |
a1b2
- a2b1 |
⎠ |
|
aus den Komponenten der beiden Vektoren berechnet werden.
Oft wird auch die Bezeichnung Kreuzprodukt
(und die Schreibweise
a×b)
verwendet.
Für Anwendungen siehe Spatprodukt und Händigkeit.
- Verbindungsvektor
- Ein Vektor, geometrisch dargestellt als Pfeil,
kann als Verbindungspfeil oder Verbindungsvektor zwischen zwei Punkten gedeutet werden.
Der Verbindungsvektor von P
nach Q ist durch die
Differenz der Ortsvektoren
Q - P
gegeben. Der Abstand zweier Punkte ist der Betrag ihres
Verbindungsvektors.
- Verbundereignis
- Sind A und B
Ereignisse, die zu verschiedenen voneinander unabhängigen Zufallsexperimenten gehören,
die gleichzeitig ausgeführt werden,
so ist A Ç B
("A und B") ein Verbundereignis.
Da A und B
laut Voraussetzung voneinander statistisch unabhängig sind,
kann die Multiplikationsregel für unabhängige Ereignisse
angewandt werden, um die Wahrscheinlichkeit eines Verbundereignisses zu berechnen.
- Verdoppelungszeit
- Siehe exponentielles Wachstum.
- Vereinigungsmenge
- Sind A und B
zwei Mengen,
so ist die Vereinigungsmenge (kurz: die Vereinigung)
A È B die Menge aller Elemente, die entweder in
A oder in B liegen:
A È B = { x | x Î A oder x Î B }. |
|
Sie ist die Zusammenfassung aller Elemente von A
und B.
- Verkettung von Funktionen
- (früher auch Verknüpfung genannt) ist das Hintereinander-Ausführen:
Sind f und g
zwei Funktionen, und ist der Wertebereich von g eine Teilmenge des Definitionsbereichs von f,
so wird durch
(f o g) (x)
= f (g(x))
eine neue Funktion
f o g
definiert. Die "Verkettungsoperation" o ist assoziativ, denn es gilt immer
f o (g o h)
=
(f o g) o h, aber im Unterschied
zur Multiplikation von Zahlen nicht kommutativ,
denn f o g
ist nicht dasselbe wie
g o f.
- Verknüpfung von Funktionen
- ist eine ältere Bezeichnung für die Verkettung von Funktionen.
- Vermessungsaufgaben
- Vermessungsaufgaben bestehen darin, gewisse Größen in geometrischen Figuren, die aus Dreiecken bestehen
oder sich in Dreiecke zerlegen lassen, mit den Mitteln der Trigonometrie
(vor allem Sinussatz und Cosinussatz)
aus gewissen anderen numerisch bekannten Größen zu errechnen.
Oft handelt es sich dabei um mehr oder weniger realistische Situationen aus der Landvermessung.
Zum Lösen dieser Aufgaben ist manchmal eine Kombination von Argumenten nötig.
Sie zu finden, ist nicht immer leicht. Hier eine ausführliche Liste von
zur Bearbeitung von Vermessungsaufgaben.
Siehe auch Auflösen von Dreiecken.
- Verschiebungen und Streckungen von Funktionsgraphen
- können direkt durch Verschiebungen und Streckungen von Argument und Funktionswert erzielt werden:
.
- Verschiebungsvektor
- Ein Vektor, geometrisch dargestellt als Pfeil,
kann als Verschiebung (Translation) gedeutet werden, die jeden Punkt
in einen anderen überführt, indem sie ihn entlang des Pfeils "verschiebt". Die Vektoraddition bedeutet in dieser Interpretation das
Hintereinander-Ausführen von Verschiebungen.
- Versuchsausgang
- kurz Ausgang: Ein Zufallsexperiment besitzt eine wohldefinierte
Menge von Versuchsausgängen (Elementarereignissen). Die Menge aller Versuchsausgänge
ist der Ereignisraum. Der Begriff des Versuchsausgangs
ist von jenem des Ereignisses zu unterscheiden!
- Vielfaches
- Im Rahmen der natürlichen Zahlen sind die Vielfachen
von m (neben
m selbst) die Zahlen
2m, 3m,
4m usw., d.h. alle Zahlen der Form
k m, wobei
k
Î N.
Die Zahlen m und k
sind dann Teiler des Produkts
k m.
Analog kann das Konzept auch auf die ganzen Zahlen ausgedehnt
werden, wobei 0 m (also 0)
und -m für manche Zwecke als
triviale Vielfache angesehen werden müssen.
- Vietascher Satz
- Zwischen den Lösungen
x1,2 einer
quadratischen Gleichung
(siehe kleine Lösungsformel) und
den in der Normalform
(p-q-Form)
x2 + p x + q = 0 auftretenden Zahlen
p und q besteht die Beziehung.
Der tiefere Grund dafür ist die Identität
x2 + p x + q = (x - x1)(x - x2).
Dies kann dazu benützt werden, quadratische Terme als Produkte von
Linearfaktoren zu schreiben. (Über den
reellen Zahlen ist das nur möglich, wenn
der quadratische Term für zumindest ein x Null ist. Über den
komplexen Zahlen ist es immer möglich. Beispiele:
x2 - 1 = (x + 1)(x - 1) über R oder C,
x2 + 1 = (x + i)(x - i) über C).
- Vorzeichenfunktion
- ist ein anderer Name für die
Signumfunktion.
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