- Ganze Zahlen
- sind jene reellen Zahlen, deren Dezimaldarstellung
nach dem Komma abbricht (d.h. nur Nullen enthält):
..., -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4,...
Auf der Zahlengeraden bilden sie eine Abfolge von Punkten
im Abstand 1, von 0 aus nach rechts und links gehend.
Die Menge aller ganzen Zahlen wird mit Z
bezeichnet.
- Ganzrationale Funktion
- bedeutet dasselbe wie Polynomfunktion.
- Gauß-Funktion
- ist eine im Unendlichen verschwindende Funktion der Form
exp(Q),
wobei Q ein quadratischer Ausdruck
(in einer oder mehreren Variablen) ist. Die allgemeinste Gauß-Funktion
in einer Variablen x ist
(unter Weglassung einer irrelevanten additiven Konstante im Exponenten) von der Form
exp(-ax2
+ xb) für
a > 0.
Uneigentliche Integrale über Gauß-Funktionen heißen Gaußsche Integrale.
- Gaußsches Integral
- wird ein uneigentliches Integral über eine Gauß-Funktion
genannt. Einer der Tricks bei der Berechnung Gaußscher Integrale ist die Methode der
Ergänzung auf ein vollständiges Quadrat.
- Gebrochen rationale Funktion
- wird eine rationale Funktion genannt, deren Nenner
(nachdem so viel wie möglich gekürzt wurde und keine Definitionslücken
vorliegen) von mindestens erster Ordnung ist.
Gebrochen rationale Funktionen sind jene rationalen Funktionen, die ein "echtes Polynom" als Nenner besitzen.
Alle rationalen, aber nicht gebrochen rationalen Funktionen sind
Polynomfunktionen.
- Gegenereignis
- Ist A ein Ereignis eines
Zufallsexperiments, so ist
sein Gegenereignis Ø A
(ausgesprochen: "nicht-A")
seine Komplementärmenge. Es fasst alle Versuchsausgänge
zusammen, die nicht zu A gehören.
Tritt A mit der Wahrscheinlichkeit
q ein, so tritt sein Gegenereignis mit der
Gegenwahrscheinlichkeit 1 - q
ein.
- Gegenwahrscheinlichkeit
- ist die Wahrscheinlichkeit, mit der das Gegenereignis eines gegebenen
Ereignisses eintritt.
- Geometrie
- Zur Geometrie zählen jene Teilgebiete der Mathematik, die sich mit
Punkten, Figuren und Körpern, Geraden und Ebenen, Linien und Flächen, Längen und Längenverhältnissen
sowie Verallgemeinerungen dieser Begriffe beschäftigen. Die klassische Geometrie
widmete sich seit der Antike vor allem der Erforschung der ebenen Figuren und der ihnen innewohnenden Gesetzmäßigkeiten.
In der auf Pierre de Fermat (1601 oder 1607 - 1665) und
René Descartes (1596 - 1650) zurückgehenden
analytischen Geometrie werden geometrische Objekte
(meist in Bezug auf ein kartesisches Koordinatensystem)
analytisch ("formelmäßig") beschrieben und geometrische Probleme
rechnerisch gelöst.
Aus der klassischen Geometrie entstanden, aber heute sehr stark mit analytischen Methoden angereichert sind
die Trigonometrie (Dreiecksgeometrie) und die sphärische Trigonometrie.
- Geometrische Figur
- Siehe den Exkurs unter klassische Geometrie.
- Geordnetes Paar
- Seien A und
B zwei Mengen.
Ein geordnetes Paar von Elementen dieser beiden Mengen besteht in der Angabe
eines Elements a Î A und eines Elements
b Î B.
Das Paar wird wird als
angeschrieben und als ein mathematisches Objekt behandelt. Analog können geordnete Tripel
(a, b,
c)
und höhere n-Tupel
( a1,
a2,...
an )
betrachtet werden.
Siehe auch Zahlenpaare, Zahlentripel und
n-Tupel.
- Gerade
- Eines der wichtigsten Objekte der Geometrie.
Siehe Gerade in der Zeichenebene und Gerade im Raum.
- Gerade Funktion
- ist eine andere Bezeichnung für symmetrische Funktion.
- Gerade im Raum
- Eine Gerade im dreidimensionalen Raum wird in der analytischen Geometrie
durch eine Parameterdarstellung beschrieben.
Siehe auch Lagebeziehungen von Ebenen und Geraden, Durchstoßpunkt
und Lagebeziehungen von Geraden im Raum.
- Gerade in der Zeichenebene
- In der analytischen Geometrie wird eine Gerade in der Ebene
durch eine Geradengleichung oder
durch eine Parameterdarstellung beschrieben.
Siehe auch Lagebeziehungen von Geraden in der Ebene.
- Geradengleichungen
- In der analytischen Geometrie kann eine
Gerade in der Zeichenebene durch eine lineare Gleichung in zwei Variablen
x und y
beschrieben werden. Dabei wird die Gerade identifiziert mit der Lösungsmenge dieser Gleichung,
d.h. der Menge aller Punkte,
deren Koordinaten (x, y)
sie erfüllen.
Eine nicht zur y-Achse parallele Gerade
kann durch ihre (eindeutige) explizite Geradengleichung
beschrieben werden. In jedem Fall ist eine Beschreibung durch eine
implizite Geradengleichung möglich (siehe auch
Normalvektorform einer Geraden in der Ebene).
- Geradengleichung, explizite
- Jede nicht zur y-Achse parallele Gerade in der Zeichenebene
kann als Lösungsmenge einer linearen Gleichung der Form
y = kx + d
beschrieben werden. Dabei ist k ihr
Anstieg und d ihr Ordinaten-Abschnitt.
Die explizite Gleichung einer Geraden ist eindeutig, d.h. eine Gerade besitzt nur eine
derartige Darstellung.
Siehe auch Geradengleichungen und implizite
Geradengleichung.
- Geradengleichung, implizite
- Jede Gerade in der Zeichenebene
kann als Lösungsmenge einer linearen Gleichung der Form
ax + by = c
beschrieben werden, wobei a, b
und c Konstante sind und zumindest einer der Koeffizienten
a und b
von 0 verschieden ist.
a und b
sind die Komponenten eines Normalvektors der Geraden.
Wird eine implizite Geradengleichung durch Vektoren ausgedrückt,
so wird sie Normalvektorform genannt.
Implizite Geradengleichungen sind nicht eindeutig, d.h. eine Gerade besitzt (unendlich) viele
derartige Darstellungen, die alle Vielfache voneinander sind.
Siehe auch Geradengleichungen und explizite
Geradengleichung.
- Geradlinige Koordinaten
- beruhen auf Koordinaten-Achsen, um die Position von Punkten
in der Zeichenebene
oder im Raum in Form von Zahlen anzugeben.
Meistens wird ein kartesisches (rechtwinkeliges)
Koordinatensystem verwendet, d.h. eines, dessen Achsen aufeinander normal stehen.
Es sind aber auch Koordinatensysteme möglich, bei denen die Achsen unter einem
beliebigen Winkel zueinander stehen. (Sie dürfen nur nicht zueinander parallel sein).
Man spricht dann von schiefwinkeligen Koordinaten.
Neben geradlinigen werden auch krummlinige
Koordinaten
verwendet, und für diese macht der Begriff der Koordinaten-Achsen keinen
Sinn.
Siehe auch Koordinatensystem.
- Gleichmächtig
- heißen zwei Mengen
A und
B mit der Eigenschaft, daß
für jedes Element von A genau ein Element
von B
''Partner'' erklärt werden kann, sodaß kein Element von
B ohne ''Partner'' bleibt.
Eine kompaktere Definition dieses Begriffs ist: Zwei Mengen
A und
B heißen gleichmächtig,
wenn es eine bijektive Funktion
f : A ® B gibt.
Gleichmächtige Mengen werden auch isomorph
genannt, wenngleich dieser Begriff noch andere Bedeutungen hat.
Symbolisch wird für gleichmächtige Mengen manchmal
A @ B geschrieben.
Zwei endliche Mengen sind gleichmächtig,
wenn sie gleich viele Elemente besitzen. Für unendliche Mengen
liegt hier ein akzeptabler Begriff vor, der die Alltagsvorstellung von ''gleich viele''
ersetzt.
Nicht alle unendlichen Mengen sind gleichmächtig. In diesem Sinn können
auch unendliche Mengen ''verschieden groß'' sein. Insbesondere sind die Mengen
der natürlichen und der reellen
Zahlen nicht gleichmächtig sind.
Siehe auch abzählbar, überabzählbar
und Potenzmenge.
- Gleichschenkeliges Dreieck
- wird ein Dreieck genannt, wenn es zwei gleich lange Seiten besitzt (was damit gleichbedeutend ist, dass es zwei gleiche Winkel besitzt).
- Gleichseitiges Dreieck
- wird ein Dreieck genannt, dessen drei Seiten gleich lang sind (was damit gleichbedeutend ist, dass alle Winkel gleich, d.h. 60°, sind).
Die Höhe im gleichseitigen Dreieck mit Seitenlänge a beträgt
(a/2)Ö3. Der Höhenschnittpunkt
teilt jede Höhe im Verhältnis 2:1.
- Gleichung
- Eine Gleichung ist eine "Behauptung", daß zwei
Terme gleich sind,
wobei die beiden Terme von einer oder mehreren
Variablen (Unbekannten)
abhängen.
Weiters muß eine Menge vom Variablenwerten gegeben sein,
die sogenannte Grundmenge.
Jene Werte der Variablen, die in der Grundmenge liegen und
für die die "Behauptung" eine wahre Aussage ist, heißen
Lösungen. Die Menge aller Lösungen heißt
Lösungsmenge.
Sie kann für einfache Gleichungen durch die systematische Anwendung von
Äquivalenzumformungen
ermittelt werden.
Es kann vorkommen, daß die "Behauptung" für manche Elemente der Grundmenge keinen
Sinn macht (z.B. wenn durch Null dividiert werden müsste). Werden diese Elemente aus der
Grundmenge entfernt, so entsteht die
Definitionsmenge.
Beispiel: x2 + 3 = 7 hat
zwei Lösungen, nämlich x = - 2 und x = 2.
Beispiel: x + y = 1 hat
viele Lösungen, z.B. x = 1, y = 0 oder
x = y = 1/2.
Gleichungen in einer Variablen werden meistens dazu benutzt, um Zahlen zu finden,
von denen eine bestimmte Eigenschaft bekannt ist.
In der analytischen Geometrie werden Gleichungen in zwei Variablen benutzt, um
ebene Kurven zu beschreiben, während
Gleichungen in drei Variablen dazu dienen, Flächen im Raum zu beschreiben.
Geraden in der Zeichenebene und Ebenen
im Raum werden mit Hilfe linearer Gleichungen
in zwei bzw. drei Variablen beschrieben.
Für ''EinsteigerInnen'' steht ein kleiner
"Gleichungen - ein erster Überblick" zur Verfügung.
Kritische Nachbemerkung: Da der Begriff des Terms ein bißchen unscharf ist,
ist eine mathematisch präzisere Charakterisierung folgende: Eine Gleichung ist
eine "Behauptung" der Form
Links(x)
= Rechts(x),
wobei Links und
Rechts Funktionen sind.
Das Problem, eine Gleichung zu lösen, ist dann
gleichbedeutend damit, die Nullstellen einer
Funktion (nämlich
f =
Links -
Rechts) zu finden.
Siehe auch numerisches Lösen einer Gleichung.
- Gleichung dritter Ordnung
- bedeutet dasselbe wie kubische Gleichung.
- Gleichung erster Ordnung
- bedeutet dasselbe wie lineare Gleichung.
- Gleichungen numerisch lösen
- Siehe numerisches Lösen einer Gleichung.
- Gleichung zweiter Ordnung
- bedeutet dasselbe wie quadratische Gleichung.
- Globales Extremum
- Siehe Extremum, globales.
- Globales Maximum
- Siehe Maximum, globales.
- Globales Minimum
- Siehe Minimum, globales.
- Gon
- Winkel-Einheit im
Neugrad-System: voller Winkel = 400 gon º
400g, rechter Winkel = 100 gon º 100g.
- Grad eines Polynoms, einer Gleichung, einer Funktion
- Die Bezeichnung Grad wird vielfach gleichbedeutend mit Ordnung verwendet.
Siehe Ordnung eines Polynoms, einer Gleichung, einer Funktion.
- Gradmaß
- In diesem Winkelmaß wird der volle Winkel in
360° ("Grad") unterteilt. Manchmal ist es sinnvoll, Winkelangaben kleiner als 0° und
größer als 360° zuzulassen. So werden etwa -90°,
270° und 630° als ein und derselbe Winkel betrachtet.
Da die Einteilung des vollen Kreises in 360° recht willkürlich ist, wird in der Mathematik statt dessen oft das
(als natürlicher angesehene) Bogenmaß,
im Vermessungswesen auch das Neugradsystem verwendet.
- Graph einer Funktion
- Siehe Funktionsgraph.
- Graphisches Lösen einer Gleichung
- Siehe numerisches Lösen einer Gleichung.
- Grenzwert einer unbestimmten Form
- Siehe unbestimmte Form
und Regel von de l'Hospital.
- Große Lösungsformel
- Eine quadratische Gleichung, die in der Form
a
x2 +
b
x + c = 0
(wobei a ¹ 0)
gegeben ist, hat die Lösungs-Kandidaten
|
x1,2 = |
|
- b ± |
| ________
Ö b2 - 4 a c
|
|
| .
|
|
Im Rahmen der reellen Zahlen existieren diese Ausdrücke nicht
immer:
Je nachdem, ob die unter dem Wurzelzeichen stehende Zahl b2 - 4 a c
negativ, 0 oder positiv ist, hat die Gleichung keine, eine oder
zwei Lösungen.
Im Rahmen der komplexen Zahlen existieren beide Größen immer: Ist
b2 - 4 a c ¹ 0,
so existieren zwei verschiedene Lösungen,
ansonsten nur eine einzige.
Die große ergibt sich aus der kleinen Lösungsformel,
indem p = b/a und q = c/a
gesetzt wird.
- Größer, größer-gleich
- Siehe Ordnung der reellen Zahlen.
- Großkreis
- wird die Schnittlinie der Oberfläche einer Kugel mit einer Ebene, die den Mittelpunkt der Kugel
enthält, genannt. Großkreise bilden die Seitenlinien der sphärischen Dreiecke.
Sie spielen in der sphärischen Trigonometrie
die Rolle, die Geraden in der Geometrie der Ebene spielen. So ist die kürzeste Verbindung zweier (nicht gegenüberliegender) Punkte auf der
Sphäre immer ein Großkreisbogen.
- Größter gemeinsamer Teiler (ggT)
- Zwei oder mehrerere natürliche Zahlen können
gemeinsame Teiler besitzen. Um den größten dieser
Teiler zu ermitteln, wird die Primfaktorzerlegung
benützt.
Beispiel: Der ggT der Zahlen 36 und 120.
Primzahlzerlegung der beiden Zahlen:
36 = 22 ×32,
120 = 23 × 3 × 5.
Der ggT ist 22 × 3 = 12 (es muß immer die kleinere
Hochzahl genommen werden. Dabei sind
die Primfaktoren 3 und 5 als 31 und 51
und das Fehlen des Primfaktors 5 in 36 als
50 zu interpretieren).
Der ggT spielt beim Bruchrechnen eine Rolle.
- Grundmenge
- Menge von Werten der Variablen einer Gleichung, in der
Lösungen gesucht werden.
Wird üblicherweise mit G bezeichnet.
Da die Mathematik verschiedene
Zahlenmengen kennt, stellt eine Gleichung nur dann ein
wohldefiniertes mathematisches Problem dar, wenn festgelegt ist, aus welcher dieser
Mengen Lösungen akzeptiert werden. So ist man manchmal nur an
natürlichen Zahlen als Lösungen interessiert
(z.B. wenn die Variable eine Stückzahl bedeutet),
ein anderes Mal nur an ganzzahligen Lösungen, in einer weiteren Fragestellung nur
an reellen positiven Lösungen oder an reellen Lösungen usw.
Diese Fälle entsprechen
G = N,
G = Z,
G = R+
und
G = R.
Wird zu einer Gleichung keine Grundmenge angegeben, so wird üblicherweise angenommen,
daß sie gleich der Menge der reellen Zahlen ist (d.h.
G = R).
- Grundrechnungsarten
- sind die Addition,
die Subtraktion
die Multiplikation
und die Division.
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