- Abbildung
- bedeutet dasselbe wie Funktion.
- Abgeschlossene Intervalle
- Siehe Intervalle.
- Ableiten
- Eine Funktion abzuleiten heißt, ihre Ableitung zu bestimmen.
- Ableitung
- Die Ableitung einer reellen Funktion f
an der Stelle x ist -
intuitiv ausgedrückt - der Anstieg der Tangente an ihren
Graphen im Punkt (x, f(x))
und wird mit f '(x)
(ausgesprochen als "f-Strich von x"
oder "f-Strich an der Stelle x")
bezeichnet. Rechnerisch ist sie durch
| |
|
|
f(x
+ e) - f(x)
e |
|
| f '(x) = |
lim |
| |
e ® 0 |
|
definiert. Die Größe (f(x
+ e) - f(x))/e
heißt Differenzenquotient, da sie der Quotient der Koordinaten-Differenzen der Punkte
(x, f(x))
und (x + e, f(x + e))
ist. Sie wird auch manchmal in der Form
Df/Dx
geschrieben, wobei
Df = f(x
+ e) - f(x)
und Dx = e
ist. Ihr Wert ist der Anstieg der Sekante, die
den Graphen von f in diesen beiden Punkten
schneidet. Bei obiger Formel handelt es sich um den Grenzwert einer Funktion:
Wird e schrittweise gegen 0 geführt,
und besitzt der Graph im Punkt (x, f(x))
eine wohldefinierte Tangente, die nicht zur vertikalen Achse parallel ist (d.h. endlichen Anstieg), so
nähert sich die Sekante dieser an, und der Differenzenquotient strebt gegen deren Anstieg, d.h.
gegen die Ableitung an der Stelle x.
Letztere wird auch manchmal als Differentialquotient bezeichnet.
Diese Definition der Ableitung als Grenzwert kann mathematisch
präziser formuliert werden.
Eine Funktion, deren Ableitung existiert, heißt differenzierbar.
Nicht differenzierbar ist beispielsweise eine Funktion an einer Stelle, an der ihr Graph einen Knick hat
(wie die Betragsfunktion an der Stelle
0).
Dazu siehe auch stetig differenzierbar.
Eine Funktion abzuleiten oder zu differenzieren heißt, ihre Ableitung zu bestimmen.
Die Zuordnung x ® f '(x)
macht die Ableitung selbst wieder zu einer Funktion (der Ableitungsfunktion, die aber auch kurz Ableitung genannt wird).
Zu den grundlegenden Eigenschaften der Ableitung gehören:
- Die Ableitung einer konstanten Funktion ist
identisch 0.
- Die Ableitung der
linearen Funktion
x ® k x + d
ist die konstante Funktion
x ® k.
-
(c f(x)) '
= c f '(x),
d.h. die Ableitung eines Vielfachen ist das Vielfache der Ableitung.
-
(f(x) + g(x)) '
= f '(x) + g'(x),
d.h. die Ableitung einer Summe ist die Summe der Ableitungen.
Die letzten beiden Eigenschaften drücken aus, dass das Bilden der Ableitung eine
lineare Operation ist.
Aus der Definition der Ableitung folgt eine Reihe von Ableitungsregeln,
insbesondere
die die konkrete Berechnung der Ableitungen
termdefinierter Funktionen
zu einer relativ einfachen (nach Kochrezept ausführbaren) Angelegenheit machen. Dazu müssen nur die Ableitungen
einiger weniger elementarer Funktionen
(vor allem der Potenzfunktionen,
der Winkelfunktionen, der inversen Winkelfunktionen,
der Exponentialfunktionen, der Hyperbel- und Areafunktionen sowie
der Logarithmusfunktionen) bekannt sein.
Hier eine Zusammenstellung der wichtigsten Formeln für den täglichen Bedarf:
Weiters können auch höhere Ableitungen
wie f ''(x) und
f '''(x)
betrachtet werden.
In der Ableitung einer Funktion stecken wertvolle Informationen.
Sie gibt uns beispielsweise Auskunft über lokale Maxima
und Mimina (die gemeinsam als lokale Extrema bezeichnet werden), über das
Monotonieverhalten
und darüber, wo der Graph am steilsten ist (Wendepunkt).
Siehe auch Ableitung, Schreibweisen und
Ableitung als Änderungsrate,
rechtsseitige und linksseitige Ableitung.
Der Ableitungsbegriff kann auf Funktionen in mehreren Variablen
und auf komplexe Funktionen ausgedehnt werden.
- Ableitung als Änderungsrate
- Die Ableitung einer
differenzierbaren Funktion f
an der Stelle x0
ist der Anstieg ihrer Tangente im Punkt
(x0, f(x0)
ihres Graphen und kann daher als Änderungsrate
der Funktion an der Stelle x0,
d.h. als Änderung des Funktionswerts pro kleiner ("infinitesimaler") Änderung des Arguments x
in der Nähe der Stelle x0 interpretiert werden:
Ist Dx sehr klein, so gibt der
Differenzenquotient ungefähr die Ableitung an:
Df /Dx » f '(x0).
Dies führt zur Näherungsformel
Df º
f(x0 + Dx)
- f(x0)
» f '(x0) Dx.
Sie gilt umso genauer, je kleiner Dx ist.
In Worten: Ändert sich x um Dx,
so ändert sich f ungefähr
um f '(x0) Dx.
- Ableitungen, höhere
- Siehe höhere Ableitungen.
- Ableitung, Schreibweisen
- Um Ableitungen von Funktionen anzuschreiben, haben sich
(aus historischen Gründen und aus Gründen der Zweckmäßgkeit)
verschiedene Schreibweisen eingebürgert. Die wichtigsten seien hier
anhand der Funktion f(x) = x2
illustriert. Die Koordinaten in der Zeichenebene, in der ihr Graph lebt, seien mit
x und y
bezeichnet. Neben den häufigsten Schreibweisen
f '(x) = 2x
und (x2) ' = 2x
sind üblich:
dy
dx |
= |
df
dx |
= |
df(x)
dx |
= |
d(x2)
dx |
= |
d
dx |
f(x) |
= |
d
dx |
x2 |
=
2x. |
|
Um die Ableitung an einer bestimmten Stelle, z.B. 0,
zu bezeichnen, ist die Schreibweise f '(0)
am günstigsten. Es kann aber auch (x2) ' |x=0
oder eine ähnliche Form verwendet werden.
Manchmal (insbesondere in der Physik, wenn nach der Zeit abgeleitet wird) wird anstelle eines
Strichs ein Punkt über das Funktionssymbol gesetzt.
- Ableitungsfunktion
- Siehe Ableitung.
- Ableitungsregeln
- sind handliche Regeln, die es erleichtern, die Ableitung einer Funktion zu berechnen.
Die wichtigsten sind die Produktregel, die Quotientenregel,
die Kettenregel und die Ableitung der inversen Funktion.
- Abnahme, exponentielle
- Siehe exponentielle Abnahme.
- Abschnittsweise stetig
- bedeutet dasselbe wie stückweise stetig.
- Absolutbetrag einer reellen Zahl
- kurz Betrag genannt.
Beim Bilden des Betrags bleiben positive reelle Zahlen und die Null unverändert,
bei negativen reelle Zahlen wird das Vorzeichen auf + umgestellt.
Beispiele:
|3| = 3,
|0| = 0,
|-3| = 3.
Der Absolutbetrag
der Zahl x wird als
|x|
bezeichnet, und es ist immer
|x| ³ 0.
Weiters gilt
|-x| = |x|
und
|x| = 0 Û x = 0 .
Der Absolutbetrag einer Differenz,
|x - y|,
stellt den ''Abstand'' auf der Zahlengeraden dar. Ist diese Größe
klein, so liegen x und y
auf der Zahlengeraden nahe beieinander. Diese Struktur ist wichtig, wenn
es um "kleine Änderungen" von Größen geht
(wie beim Begriff der Stetigkeit von
Funktionen) oder um Listen von Zahlen (Folgen), die ''immer näher zusammenrücken''.
- Abstand Punkt - Ebene
- Der (Normal-)Abstand eines Punktes Q
von einer Ebene kann mit Hilfe deren Normalvektorform zu
|nQ - c|/|n|
bestimmt werden.
- Abstand Punkt - Gerade
- Der (Normal-)Abstand eines Punktes Q
von einer Geraden in der Zeichenebene kann mit Hilfe deren Normalvektorform zu
|nQ - c|/|n|
bestimmt werden.
- Abstand zweier Punkte
- ist der Betrag ihres
Verbindungsvektors.
- Abszisse
- ist die horizontale
Achse eines kartesischen
Koordinatensystems der Zeichenebene,
oft x-Achse
genannt. Ihr Gegenstück heißt Ordinate.
- Abzählbar
- heißt eine Menge mit unendlich vielen Elementen,
wenn sie sich ''durchnumerieren'' lässt.
(Genauer ausgedrückt heißt das, daß es eine
bijektive Funktion von der Menge der
natürlichen Zahlen in die gegebene Menge gibt.
Das ist genau dann der Fall, wenn diese Menge zur Menge der natürlichen Zahlen
gleichmächtig ist).
Beispiele für abzählbare Mengen sind, neben den natürlichen Zahlen, die
Menge N0,
die Menge der ganzen Zahlen und die Menge der
rationalen Zahlen.
Nicht abzählbar (überabzählbar)
sind die Menge der reellen Zahlen und die Menge der irrationalen Zahlen.
- Abzählverfahren
- Siehe Kombinatorik.
- Achsen
- Siehe Koordinaten-Achsen.
- Achsen-Abschnitte einer Ebene
- bezeichnen die Koordinaten jener Punkte, in denen die Koordinaten-Achsen
eine Ebene durchstoßen.
Ist die Ebene durch eine Ebenengleichung gegeben, so lassen sie sich leicht
ermitteln. Dies ist nützlich beim Skizzieren von Ebenen.
- Achsen-Abschnitte einer Geraden
- bezeichnen die Koordinaten jener Punkte, in denen eine Gerade in der Zeichenebene
die Koordinaten-Achsen schneidet.
Ist die Gerade durch eine implizite Geradengleichung gegeben, so lassen sie sich leicht
ermitteln. Dies ist nützlich beim Zeichnen von Geraden.
Der Abschnitt auf der x-Achse
wird Abszissen-Abschnitt genannt, der Abschnitt auf der y-Achse
ist der Ordinaten-Abschnitt.
- Addition
- Zwei Zahlen x,
y können addiert werden,
und die Summe x + y
ist wieder reelle Zahl. x und y
heißen Summanden.
Für zwei Zahlen gilt x + y
= y + x,
was als Kommutativgesetz der Addition bezeichnet wird.
Werden mehrere Zahlen addiert, so gilt
(x + y) + z =
x + (y + z), das
Assoziativgesetz der Addition.
Von der Addition leitet sich die Subtraktion her. Mit der Multiplikation
ist die Addition durch das Distributivgesetz verbunden.
Die Addition kann ganz innerhalb der kleineren Mengen der natürlichen, der ganzen, der
rationalen und der reellen Zahlen ausgeführt werden.
Auch andere Mengen, wie die der komplexen Zahlen
oder der Restklassen, besitzen eine Operation, die als ''Addition'' bezeichnet
wird, weil sie denselben formalen Rechenregeln genügt.
- Additionsregel für disjunkte Ereignisse
- Schließen die Ereignisse A und B
eines Zufallsexperiments einander
aus (d.h. sind sie disjunkt), so ist die Wahrscheinlichkeit, dass entweder A oder B
eintritt, gleich der Summe der Wahrscheinlichkeiten für A und B.
Durch eine Formel ausgedrückt:
p(A oder B) º
p(A È B) º
p(A Ú B) = p(A) + p(B).
Dies lässt sich auch auf mehrere Ereignisse verallgemeinern, vorausgesetzt, sie sind paarweise disjunkt.
- Additionstheoreme für Winkelfunktionen
- Siehe Summensätze für Winkelfunktionen.
- Ähnlich
- heißen zwei geometrische Figuren, wenn sie sich nur in der Größe
unterscheiden, nicht aber in den in ihnen vorkommenden Winkeln.
Siehe den Exkurs unter klassische Geometrie.
- Ähnlichkeitssätze der ebenen Trigonometrie
- Zwei Dreiecke sind genau dann zueinander ähnlich, wenn sie in zwei (und damit automatisch in allen drei) Winkeln
übereinstimmen. Das ist genau dann der Fall, wenn ihre Seitenlängen zueinander proportional sind.
- Algebraische Funktion
- So wird eine reelle (oder komplexe) Funktion
f genannt, wenn sie eine "polynomische
Gleichung" (also beispielsweise eine Gleichung der Form
f 3(x)
- 3x7 f (x)
+ x4
= 0)
für alle x
in ihrem Definitionsbereich erfüllt.
Jeder Term, der sich aus x
durch die Grundrechnungsarten und das Bilden von Potenzen mit rationalen Exponenten
aufbauen lässt, stellt eine algebraische Funktion dar. Beispiele sind
Polynomfunktionen, rationale Funktionen, Wurzelfunktionen und beliebige Kombinationen
(auch Verkettungen) dieser.
Als Gegenstück zu den algebraischen gelten in gewisser
Hinsicht die transzendenten Funktionen.
- Amplitude
- Siehe harmonische Schwingung.
- Analysis
- ist ein anderer Name für Differential- und
Integralrechnung. Im weiteren Sinn
werden damit auch Gebiete bezeichnet, die als Vorbereitung der Differentialrechnung angesehen werden können,
insbesondere das Studium reeller Funktionen.
- Analytische Geometrie
- ist jener Zweig der Geometrie, der Lagebeziehungen zwischen Punkten
durch algebraische ("formelmäßige") Beziehungen ihrer Koordinaten
(meist in Bezug auf ein kartesisches Koordinatensystem
der Zeichenebene oder des dreidimensionalen Raumes)
ausdrückt. Seine Ausgangsthemen
sind die Beschreibung von Geraden durch
Geradengleichungen oder Parameterdarstellungen
und die Beschreibung von Ebenen durch Ebenengleichungen
sowie die rechnerische Untersuchung deren Lagebeziehungen und Schnittmengen.
Letztere treten in der Regel als Lösungsmengen von
Gleichungen und
Gleichungssystemen auf.
Als nützliches Hilfsmittel werden in der analytischen Geometrie Vektoren
eingesetzt, um Punkte, Richtungen und Verbindungspfeile zwischen Punkten zu beschreiben.
- Änderungsrate
-
Die Änderungsrate einer Funktion gibt an, wie sich der
Funktionswert "pro" (oder "bezogen auf eine")
Änderung des Arguments ändert.
So ist beispielsweise die Geschwindigkeit die Änderung des Ortes
bezogen auf die benötigte Zeit (man kann auch sagen: die Änderung des Ortes pro Zeiteinheit oder pro Sekunde).
Geschwindigkeit ist daher die (zeitliche) Änderungsrate des Ortes.
Beschleunigung ist die (zeitliche) Änderungsrate der Geschwindigkeit.
Für differenzierbare Funktionen ist die
Änderungsrate durch die Ableitung gegeben.
Siehe auch Ableitung als Änderungsrate.
- Anstieg
- (oder Steigung) einer Geraden in der Zeichenebene:
Werden auf einer nicht zur y-Achse parallelen Geraden
zwei verschiedene Punkte gewählt, so wird der Quotient
Dy/Dx
deren Koordinatendifferenzen als Anstieg bezeichnet. Er ist unabhängig von der Wahl der beiden Punkte und
misst, wie steil die Gerade in Bezug auf das kartesische Koordinatensystem
verläuft. Das rechtwinkelige Dreieck mit Dx
als horizontaler und Dy
als vertikaler Kathete wird als Steigungsdreieck bezeichnet.
Werden die beiden Punkte so gewählt, dass Dx = 1
ist, so kann an diesem normierten Steigungsdreieck der Anstieg
k nach der Regel
"1 nach rechts, k hinauf"
eingetragen bzw. abgelesen werden.
Der Anstieg tritt (mit 100
multipliziert) im Straßenverkehr auf: Eine Steigung von
15% entspricht einem Anstieg von
0.15.
Der Anstieg ist eine der beiden in der expliziten Geradengleichung
auftretenden Konstanten. (Die andere ist der Ordinaten-Abschnitt).
- Antisymmetrisch(e Funktion)
- auch ungerade Funktion, ist eine reelle (oder komplexe)
Funktion, die
f(-x)
= -f(x)
für alle x in ihrem
Definitionsbereich erfüllt.
Der Graph einer reellen antisymmetrischen Funktion ist symmetrisch bezüglich des
Ursprungs (d.h. er geht unter einer Punktspiegelung an diesem in sich selbst über). Siehe auch
symmetrische Funktion.
- Äquivalenzumformung
- Umformung einer Gleichung, die
- beide Seiten (die linke und die rechte) derselben
Operation unterwirft und
- rückgängig gemacht werden kann.
Die wichtigsten Typen:
- Zu beiden Seiten wird derselbe Term addiert.
- Beide Seiten werden mit demselben
(von Null verschiedenen) Term multipliziert.
Gleichungen, die durch Äquivalenzumformungen
auseinander hervorgehen, heißen (zueinander) äquivalent.
Äquivalente Gleichungen haben dieselbe Lösungsmenge.
Daher kann die Anwendung dieser Art von Umformungen in vielen Fällen dazu benützt werden,
Gleichungen zu vereinfachen und schließlich ihre Lösungen zu ermitteln.
- arc
- Siehe Bogenmaß.
- Arcus Cosinus
- ist die inverse Funktion des Cosinus:
acos x ist
jener Winkel a, für den
cos a = x
und
0° £ a £ 180°
(im Bogenmaß
0 £ a £ p)
ist. Andere Bezeichnungen: arccos, cos-1, inv cos. Siehe
inverse Winkelfunktionen.
- Arcus Cosinus, Ableitung
- Die Ableitung des Arcus Cosinus entnehmen Sie
Tabelle.
- Arcus Cotangens
- ist die inverse Funktion des Cotangens:
acot x ist
jener Winkel a, für den
cot a = x
und
-90° < a £ 90°
(im Bogenmaß
-p/2 < a £ p/2)
ist. Andere Bezeichnungen: arccot, cot-1, inv cot
und dieselben Bezeichnungen mit ctg. Siehe inverse Winkelfunktionen.
- Arcus Cotangens, Ableitung
- Die Ableitung des Arcus Cotangens entnehmen Sie
Tabelle.
- Arcus-Funktionen
- ist ein anderer Name für inverse Winkelfunktionen.
- Arcus Sinus
- ist die inverse Funktion des Sinus:
asin x ist
jener Winkel a, für den
sin a = x
und
-90° £ a £ 90°
(im Bogenmaß
-p/2 £ a £ p/2)
ist. Andere Bezeichnungen: arcsin, sin-1, inv sin. Siehe
inverse Winkelfunktionen.
- Arcus Sinus, Ableitung
- Die Ableitung des Arcus Sinus entnehmen Sie
Tabelle.
- Arcus Tangens
- ist die inverse Funktion des Tangens:
atan x ist
jener Winkel a, für den
tan a = x
und
-90° < a < 90°
(im Bogenmaß
-p/2 < a < p/2)
ist. Andere Bezeichnungen: arctan, tan-1, inv tan.
und dieselben Bezeichnungen mit tg. Siehe
inverse Winkelfunktionen.
Steckbrief des
- Arcus Tangens, Ableitung
- Die Ableitung des Arcus Tangens entnehmen Sie
Tabelle.
- Areafunktionen
- sind die inversen Funktionen der
Hyperbelfunktionen.
- Areafunktionen, Ableitungen
- Die Ableitungen der Areafunktionen entnehmen Sie
Tabelle.
- Argument
- ist eine andere Bezeichnung für die unabhängige Variable
einer Funktion.
Sie wird oft mit x bezeichnet.
- Assoziativgesetz
- ist die Aussage, dass es bei einer Operation, die auf drei Objekte angewandt wird, nicht darauf ankommt, wie diese
Objekte zusammengefasst ("assoziiert") werden.
Sie ist beispielsweise für die Addition und die Multiplikation
von Zahlen erfüllt, denn für diese gilt immer
x+(y+z)
= (x+y)+z
und
x(yz)
= (xy)z.
Aber auch andere Operationen, wie beispielsweise die Verkettung von Funktionen, sind "assoziativ".
- Asymptote
- ist ein wichtiger Begriff, um das asymptotische Verhalten einer
reellen Funktion zu beschreiben:
Hat der Graph einer reellen Funktion
die Tendenz, einer Geraden immer näher zu kommen, so wird diese als Asymptote bezeichnet.
Asymptoten treten auf,
- wenn das Verhalten einer Funktion für unbeschränkt wachsende oder fallende Argumente x
(d.h. für x ® ¥
oder x ® -¥)
dem einer linearen Funktion immer ähnlicher wird
(in diesem Fall sind sie entweder parallel zur x-Achse
oder "schief") und
- an Unendlichkeitsstellen wie Polen
(dann sind sie parallel zur vertikalen Achse).
|
Die Asymptoten einer rationalen Funktion können systematisch ermittelt werden.
- Asymptoten einer rationalen Funktion
- Eine rationale Funktion kann zwei Arten von
Asymptoten besitzen:
Die zur horizontalen Achse parallelen und die schiefen Asymptoten entsprechen dem
Verhalten "im Unendlichen" und werden durch Betrachten der jeweils höchsten Potenzen
in Zähler und Nenner ermittelt.
Die zur vertikalen Achse parallelen Asymptoten entsprechen den Polstellen.
Hier einige
für Asymptoten rationaler Funktionen und allgemeine Aussagen über ihr Auftreten.
- Asymptotisches Verhalten
- betrifft, ein bisschen ungenau ausgedrückt, das Verhalten einer Funktion
in Bereichen, in denen ihr Graph "bis ins Unendliche" reicht.
Damit ist einerseits das Verhalten für Argumente x gemeint,
die über jede Schranke wachsen (dafür schreiben wir
x ® ¥,
ausgesprochen "x gegen Unendlich")
oder die unter jede Schranke fallen (dafür schreiben wir
x ® -¥,
ausgesprochen "x gegen minus Unendlich").
Andererseits wird damit das Verhalten einer Funktion in der Nähe von
Unendlichkeitsstellen wie Polen bezeichnet. Siehe auch
Asymptote.
Achtung: Der hier verwendete Pfeil ® (ausgesprochen "gegen") hat mit dem Pfeil in der
Zuordnungs-Vorschrift einer Funktion nichts zu tun und sollte mit diesem
nicht verwechselt werden!
- Auflösen von Dreiecken
- nennt man die Kunst, aus drei gegebenen Bestimmungsstücken (Seiten und Winkeln) eines Dreiecks
mit den Mitteln der Trigonometrie
(vor allem Sinussatz und Cosinussatz)
die restlichen drei zu berechnen. Hier eine Tabelle mit den zum
von Dreiecken relevanten Fällen und Methoden.
Sie kann vor allem beim Lösen von Vermessungsaufgaben
nützlich sein.
- Ausgang
- Siehe Versuchsausgang.
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