- Wachstum, exponentielles
- Siehe exponentielles Wachstum.
- Wachstumsrate
- Siehe exponentielles Wachstum.
- Wachstumsvergleiche
- Die Regel von de l'Hospital
hilft, das Wachstum von Funktionen miteinander zu vergleichen. Damit lassen sich Resultate erzielen
wie dieses: Für unbeschränkt wachsendes x wächst
ex
stärker als jede Potenzfunktion
xn.
- Wahrscheinlichkeit
- Der Begriff der Wahrscheinlichkeit ist zentral für die Beschreibung von
Phänomenen, die dem Zufall unterliegen.
Mathematisch werden Wahrscheinlichkeiten für die Ereignisse von
Zufallsexperimenten definiert.
Eine formale Definition der Wahrscheinlichkeit ist schwierig (und umstritten): siehe
Wahrscheinlichkeit und relative Häufigkeit.
Die Wahrscheinlichkeit für das
Eintreten des Ereignisses A wird mit
p(A) bezeichnet.
Für das Rechnen mit Wahrscheinlichkeiten gibt es eine Reihe von Regeln. Die wichtigsten sind
die Additionsregel für disjunkte Ereignisse,
die Multiplikationsregel für unabhängige Ereignisse
und die Multiplikationsregel für Wahrscheinlichkeiten.
Siehe auch Verbundereignis, bedingte Wahrscheinlichkeit und
Satz von Bayes. Hier sind die wichtigsten
zusammengefasst.
- Wahrscheinlichkeitsverteilung, diskrete
- Siehe diskrete Wahrscheinlichkeitsverteilung.
- Wahrscheinlichkeit und relative Häufigkeit
- Die (so genannte statistische) Definition der Wahrscheinlichkeit lautet:
Die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses ist die für eine gegen unendlich strebende Anzahl von
Durchführungen des betreffenden Zufallsexperiments vorausgesagte relative Häufigkeit
seines Eintretens.
- Wendepunkt
- Besitzt die Ableitung f '
einer differenzierbaren Funktion f º f(x)
selbst wieder eine Ableitung (die zweite Ableitung f ''),
so wird eine lokale Extremstelle
x0 von f '
als Wendestelle von f bezeichnet,
der zugehörige Punkt
(x0, f(x0)
am Graphen von f als Wendepunkt.
Sein Name rührt daher, dass sich an einem Wendepunkt die Tangente von einer Seite des Graphen auf die andere
"wendet". Die Tangente im Wendepunkt heißt daher auch Wendetangente.
Kandidaten für Wendepunkte einer gegebenen Funktion f
sind die Lösungen der Gleichung
f ''(x0) = 0.
Handelt es sich bei einem solchen x0 tatächlich um einen Wendepunkt, so ist
f '(x0) der Anstieg der Wendetangente.
Beispiel: Die Funktion x ® x3 - x
hat bei x0 = 0
eine Wendestelle. Der Anstieg der zugehörigen Wendetangente ist
-1.
- Wendestelle
- Siehe Wendepunkt.
- Wendetangente
- Siehe Wendepunkt.
- Wertebereich
- auch Bild genannt. Ist f :
A ®
B eine Funktion,
d.h. eine Zuordnung von der Menge A in die Menge
B,
so heißt die Menge all jener Elemente von
B, die von der
Funktion "getroffen werden", d.h. die als Funktionswert von zumindest einem
x Î
A auftreten,
Wertebereich von f.
Er ist daher immer eine Teilmenge von B.
Ist er gleich der Menge B,
so heißt f surjektiv.
Für den Wertebereich wird manchmal die Schreibweise
f (A)
verwendet. Damit ist gemeint:
{ f(x) | x Î A }.
- Wertetabelle
- einer Funktion nennt man eine tabellarische Gegenüberstellung
einiger Argumente (Werte der unabhängigen Variablen)
und ihrer zugehörigen Funktionswerte.
Wird die Variable mit x bezeichnet, so umfaßt
jede Zeile einer Wertetabelle ein Paar der Form
(x,
f(x)).
Eine Wertetabelle stellt also also einige Beispiele für die Wirkungsweise der Funktion
bereit.
Beispiel: Wertetabelle der Funktion
.
Jede Zeile einer Wertetabelle kann graphisch als Punkt - mit Koordinaten
(x,
f(x))
- in der Zeichenebene
dargestellt werden (siehe Funktionsgraph).
- Windschief
- werden zwei Geraden im Raum genannt, die nicht zueinander
parallel sind und keinen Schnittpunkt
besitzen. Siehe Lagebeziehungen von Geraden im Raum.
- Winkelfunktionen
- drücken Beziehungen zwischen Winkeln und Längen(verhältnissen) in einfachen geometrischen
Situationen aus. Jede Winkelfunktion ist eine Funktion, da sie jedem Winkel eine
(reelle) Zahl zuordnet.
Die vier wichtigsten Winkelfunktionen sind:
Sinus, Cosinus, Tangens und Cotangens.
Die letzten beiden sind surjektiv, die ersten beiden nicht.
Alle vier Funktionen sind periodisch und nicht bijektiv.
Weniger gebräuchliche Winkelfunktionen sind:
Secans,
Cosecans,
Semiversus und die
Sehnenfunktion.
Die Winkelfunktionen sind transzendente Funktionen;
ihre Berechnung geht über die elementaren Rechenmethoden hinaus.
Lediglich für spezielle Winkel existieren
Darstellungen durch einfache Rechenoperationen wie Quadratwurzeln.
Hier einige
Siehe auch
Zeigerdiagramme, Winkelfunktionen für
kleine Winkel,
Summensätze für Winkelfunktionen und
inverse Winkelfunktionen.
Winkelfunktionen dienen unter anderem der Modellierung von Schwingungsvorgängen.
Sie können auf komplexe
Argumente ("komplexe Winkel") ausgedehnt werden.
- Winkelfunktionen, Ableitungen
- Die Ableitungen der Winkelfunktionen entnehmen Sie
Tabelle.
- Winkelfunktionen für kleine Winkel
- Ist der Winkel a im Bogenmaß gegeben,
und ist |a| << 1,
so sind der Sinus und der Tangens ungefähr gleich dem Winkel selbst:
sin a » tan a » a. Ist a im
Gradmaß gegeben, so gilt
sin a » tan a » 2p × a/360°.
- Winkelfunktionen für spezielle Winkel
- Obwohl die Winkelfunktionen transzendent sind,
deren Berechnung über die elementaren Rechenmethoden hinausgeht,
existiert für spezielle Winkel eine Darstellung
durch einfache Rechenoperationen wie Quadratwurzeln.
Hier die Werte von Sinus, Cosinus,
Tangens und Cotangens für einige
,
wobei alle Nenner rational gemacht wurden.
- Winkelhalbierende
- ist ein anderer Name für die Winkelsymmetrale.
- Winkelmaße
- sind Systeme zur Angabe von Winkeln durch Zahlen.
In der Praxis wird meistens das Gradmaß oder das
Bogenmaß verwendet, seltener das Neugrad-System.
- Winkelsumme im Dreieck
- Im ebenen Dreieck beträgt die Winkelsumme immer 180°. Im Gegensatz dazu
ist die Winkelsumme im sphärischen Dreieck immer größer als 180°.
- Winkelsumme im sphärischen Dreieck
- Während die Winkelsumme im ebenen Dreieck immer 180° beträgt, ist sie im
sphärischen Dreieck immer größer als 180° und kleiner als 540°.
- Winkelsymmetrale
- Die Richtung der durch zwei Vektoren a
und b definierte Winkelsymmetrale (Winkelhalbierende) ist durch
a/|
 a|
+ b/|b|
gegeben. Siehe auch Normierung eines Vektors.
- Winkelsymmetralen im Dreieck
- Eine Gerade, die durch einen Eckpunkt eines Dreiecks geht und den dort befindlichen Winkel halbiert,
heißt Winkelsymmetrale oder Winkelhalbierende. In jedem Dreieck schneiden die
drei Winkelsymmetralen einander in einem Punkt, dem Inkreismittelpunkt.
- Winkel zwischen zwei Vektoren
- Er kann mit Hilfe des Skalarprodukts berechnet werden.
- Wurzel
- Üblicherweise wird darunter die Quadratwurzel verstanden. Für jede positive reelle Zahl
x gibt es genau eine eine positive reelle Zahl
y, deren
Quadrat x ist
(d.h. y2 = x).
Die Zahl y heißt
(Quadrat-)Wurzel von x und wird als
Öx,
oft auch als x1/2
(siehe Potenz)
bezeichnet. Sie ist - per Definition - für jedes
x ¹ 0
positiv.
(Das sollte nicht damit verwechselt werden, daß es auch eine
andere Zahl gibt, deren Quadrat x
ist, nämlich -Öx).
Weiters ist Ö0 = 0. Die Wurzel aus einer negativen Zahl
existiert allerdings im Rahmen der reellen Zahlen nicht, das jedes Quadrat
nicht-negativ ist.
Die Wurzeln aus den natürlichen Zahlen sind entweder
wieder natürliche Zahlen (für 1, 4, 9, 16,...) oder
irrationale Zahlen. Siehe auch
Irrationalität von Ö2.
Innerhalb der komplexen Zahlen
können Quadrate negativ sein, wodurch Wurzeln aus negativen Zahlen
möglich werden. Diese Wurzeln sind aber keine reellen Zahlen mehr.
Verallgemeinerung: höhere Wurzeln.
Computer berechnen die Quadratwurzel mit dem
Newton-Verfahren.
- Wurzelfunktion
- ist die Funktion
x ®
Öx.
Da Öx º
x1/2
(siehe Potenz), ist das gerade die Potenzfunktion mit Exponent 1/2.
- Wurzelgleichung
- Gleichung, die Wurzelzeichen beinhaltet, unter denen
die Variable vorkommt. Hier ist zu beachten, daß die Wurzel aus einer negativen Zahl
im Rahmen der reellen Zahlen nicht existiert. Ist daher die
Grundmenge die Menge der reellen Zahlen (oder eine Teilmenge davon),
so müssen alle Werte der Variablen,
für die Wurzeln aus negativen Zahlen gezogen werden müßten,
aus der Grundmenge herausgenommen werden,
um die Definitionsmenge zu erhalten.
Das Ermitteln jener Variablenwerte, für die der unter einem Wurzelzeichen
stehende Term größer-gleich Null ist, führt auf eine
Ungleichung (nämlich auf die Ungleichung
Term ³ 0).
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