- Identische Funktion
- heißt jene Funktion, die jeden Wert der unabhängigen Variablen
auf sich selbst abbildet:
x ®
x.
Sie heißt "identisch", weil ihre Wirkung
jeden x-Wert gleichlässt, d.h. weil sie
"nichts verändert". Die auf der Menge M
definierte identische Funktion wird manchmal mit dem Symbol
idM bezeichnet.
- Identität
- Eine Identität liegt vor, wenn zwei
Terme, die von einer oder mehreren
Variablen abhängen, für alle Werte dieser Variablen dieselben Werte annehmen.
Anders ausgedrückt ist eine Identität eine
Gleichung, die immer - d.h. für alle Werte der
Variablen - eine wahre Aussage darstellt.
(In der Logistik wird eine solche Aussage auch Tautologie genannt).
Terme, zwischen denen Identitäten bestehen, sind gewissenmaßen dieselbe
Sache, nur jeweils anders angeschrieben. In diesem Sinn sind Identitäten
einfach Rechenregeln.
Beispiel:
(a +
b)2 =
a2 + 2
a b +
b2
Meistens dürfen die Variablen beliebige reelle Werte annehmen,
jedoch sind auch Identitäten für andere Zahlenmengen
möglich.
Beispiel:
1/(1/x) = x
ist eine Identität über der Menge der von Null verschiedenen reellen Zahlen.
Beispiel:
(n + 1)! = (n+1) n!
ist eine Identität über der Menge der
natürlichen Zahlen
(für die Bedeutung der Rufzeichen siehe
Faktorielle).
Identitäten werden manchmal mit Hilfe des Symbols
º ("identisch") ausgedrückt.
Das Symbol º
wird auch bei der Definition von Funktionen benutzt:
Die Schreibweise f º f(x)
drückt aus, dass das Argument der Funktion f mit dem Symbol
x bezeichnet wird.
- Implizite Funktionsdarstellung
- oder implizite Funktionsdefinition meint die Angabe oder Darstellung einer
Funktion durch eine implizite Funktionsgleichung,
die - im Gegensatz zur expliziten Darstellung -
nicht nach der abhängigen Variable aufgelöst ist.
Beispielsweise definiert die Gleichung
y2
+ 2 y
+ x2 = 0
einen Zusammenhang zwischen den Größen
x und y.
Wird gefragt, wie y von x
abhängt, so muss die gesuchte Abhängigkeit y(x)
erst durch Auflösen dieser (quadratischen) Gleichung
nach y bestimmt werden.
In diesem Beispiel gibt es sogar zwei Funktionen, die durch die gegebene Gleichung dargestellt werden:
y±(x) =
-1 ± (1 - x2)1/2,
und es ist offensichtlich, dass x nicht beliebig vorgegeben werden kann.
Die implizite Angabe einer Funktion kann also (im Vergleich zur expliziten Form) die Notwendigkeit einer
zusätzlichen Analyse nach sich ziehen, damit überhaupt klar gesagt werden kann, was gemeint ist.
Dennoch ist diese Form der Darstellung wichtig:
Viele Zusammenhänge (auch in Anwendungsbereichen) treten zunächst implizit in Erscheinung,
und manchmal ist es auch ganz einfach bequemer, eine bestimmte Funktion in impliziter statt in expliziter Form
anzugeben.
Unter den implizit definierten Funktionen gibt es aber auch solche, die gar nicht in expliziter
Form dargestellt werden können (siehe
Funktionen ohne geschlossene Termdarstellung).
- Induktionsbeweis
- oder Beweis durch vollständige Induktion ist eine Beweismethode,
die mit der Struktur der natürlichen Zahlen zusammenhängt.
Falls für jede natürliche Zahl n
eine Aussage An
definiert ist (von denen jede zunächst wahr oder falsch sein kann), so
ist der Satz
''An
ist wahr für alle
n Î N''
bewiesen, wenn es gelingt, Folgendes zu zeigen:
-
A1 ist
wahr (Induktionsanfang).
- Aus der (versuchsweise angenommenen) Richtigkeit von
An
(Induktionsannahme oder Induktionsvoraussetzung)
kann auf die Richtigkeit von
An+1
geschlossen werden (Induktionsschluß).
Es folgt also, daß auch A2 wahr ist,
und daraus, daß A3 wahr ist usw.
- Infinitesimal
- wurden früher Größen genannt, die man sich
sehr klein ("unendlich klein") vorstellte, aber auf eine Weise,
die es nach wie vor erlaubt, ihre Quotienten zu bilden.
Der Zweck dieser Vorstellung war es, die Ableitung einer Funktion
f º f(x)
als Quotient df/dx
schreiben zu können, wobei dx und df
als "infinitesimale" Änderungen (Differentiale)
des Arguments und des Funktionswerts gedacht wurden.
Daher wurde die Analysis früher auch
Infinitesimalrechnung genannt.
Der moderne Begriff des Grenzwerts erlaubt es uns heute,
auf derart ungenaue Konstruktionen zu verzichten bzw. sie lediglich für
Näherungs- und Illustrationszwecke heranzuziehen.
- Information
- hat damit zu tun, wieviel wir über etwas wissen. Als Maß dafür
dient Aufwand, der nötig ist, um etwas herauszufinden.
Der maximale Informationsgewinn, der durch die Beantwortung einer Ja-Nein-Frage
erzielt werden kann, heißt ein Bit. Daraus ergibt sich ein Zusammenhang zum
Zweier-Logarithmus:
Eine von n
(gleich wahrscheinlichen) Möglichkeiten zu kennen,
stellt eine Information von 2log n
Bit dar.
In der Computertechnologie wird ein "Alphabet" von 256 ( = 28)
Zeichen (Standard-Buchstaben, Ziffern, Sonderzeichen) verwendet.
Mit der Speicherung oder Übertragung eines einzelnen
Zeichens ist daher eine Information von 8 Bit verbunden.
Daher rührt die Verwendung der Einheit 1 Byte = 8 Bit.
- Injektiv
- heißt eine Funktion
f :
A ®
B, die jedes Element der Menge
B höchstens einmal trifft.
Eine solche Funktion heißt auch Injektion.
Injektive Funktionen können dadurch charakterisiert werden,
daß zwei verschiedene
x-Werte immer auch verschiedene
Funktionswerte haben. In Formeln bedeutet das: Aus
x1 ¹
x2
folgt
f (x1)
¹
f (x2).
- Inkreis eines Dreiecks
- ist jener eindeutig bestimmte Kreis, der alle drei Seitenlinien des Dreiecks
von innen berührt. Der Inkreismittelpunkt ist der
Schnittpunkt der drei Winkelsymmetralen im Dreieck.
Er ist einer der vier
so genannten merkwürdigen Punkte im Dreieck.
Der Inkreisradius ist durch
r = A
 /s
gegeben, wobei A der
Flächeninhalt des Dreiecks und s der halbe Umfang ist.
- Integral
- ist ein gemeinsamer Name für das unbestimmte Integral
(die Stammfunktion) und das bestimmte Integral
(das als - orientierter -
Inhalt der Fläche unter dem Graphen interpretiert werden kann).
Diese beiden Integralbegriffe hängen über den
Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung
zusammen und bilden das Kernstück der Integralrechnung.
- Integralrechnung
- ist jener Zweig der Mathematik, in dem es um Integrale reeller Funktionen,
d.h. um deren Stammfunktionen (unbestimmte Integrale) und
bestimmte Integrale
sowie um die damit zusammenhängenden Methoden geht.
Der Ausgangspunkt zu ihrer Entwicklung war das Flächeninhaltsproblem.
Zusammen mit der Differentialrechnung
ist sie Teil der Analysis.
- Integrand
- bedeutet "die zu integrierende Funktion".
In der üblichen Schreibweise wird sie durch den zwischen dem
Integralzeichen ò und dem Differential-Symbol (z.B. dx)
stehenden Ausdruck dargestellt.
- Integrationskonstante
- Die Stammfunktion (das unbestimmte Integral) einer gegebenen reellen Funktion
ist nur bis auf eine additive Konstante eindeutig. Diese Konstante heißt Integrationskonstante.
In der Aussage
ò
 3x2dx = x3 + c
wird sie durch den Zusatz " + c"
ausgedrückt. Ihre Existenz bewirkt, dass das Integrieren
im strengen Sinn nicht wirklich die "Umkehrung" des Differenzierens ist.
Da sie aus der Differenz der Werte einer Stammfunktion an zwei Stellen wieder herausfällt,
kann für die Berechnung bestimmter Integrale mit Hilfe
des Hauptsatzes der Differential- und Integralrechnung
eine beliebige Stammfunktion verwendet werden.
- Integrationsregeln
- oder Integrationsmethoden dienen dazu, Stammfunktionen zu finden
und bestimmte Integrale zu berechnen.
Dazu zählen zunächst die elementaren Einschaften des Integrals:
- òabf(x)dx =
- òbaf(x)dx
- òabf(x)dx +
òbcf(x)dx =
òacf(x)dx
- òcf(x)dx =
còf(x)dx, d.h. das Integral eines Vielfachen ist das Vielfache des Integrals.
- ò(f(x) + g(x))dx =
òf(x)dx +
òg(x)dx, d.h. das Integral einer Summe ist die
Summe der Integrale.
Die letzten beiden Eigenschaften gelten sowohl für Stammfunktionen (bis auf eine Integrationskonstante)
als auch für bestimmte Integrale. Sie drücken aus, dass das Integrieren eine lineare Operation ist.
Zu den Integrationsmethoden, die Integrale manchmal entscheidend vereinfachen,
zählen, neben dem Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung,
Welche dieser Methoden zum Ziel führt, lässt sich nicht immer im Voraus sagen.
Insbesondere bei schwierigen Integrationsproblemen muss probiert und improvisiert werden.
- Integrierbar
- (genauer: Riemann-integrierbar) in einem Intervall
[a, b]
heißt eine reelle Funktion,
für die das Riemann-Integral existiert.
Alle stetigen und stückweise stetigen Funktionen sind
Riemann-integrierbar. Ein Beispiel für eine nicht Riemann-integrierbare Funktion ist die
auf dem Intervall [0, 1] betrachtete
charakteristische Funktion der Menge der rationalen Zahlen.
- Integrieren
- oder eine Integration ausführen heißt, eine
Stammfunktion (d.h. ein unbestimmtes Integral) einer gegebenen Funktion
zu finden oder ein bestimmtes Integral zu berechnen.
Aufgrund des Hauptsatzes der Differential- und Integralrechnung
kann das Integrieren in gewissem Sinn als "Umkehrung" des Differenzierens
angesehen werden.
- Intervalle
- sind Teilmengen der Menge der reellen Zahlen, die, in der
Deutung von R als
Zahlengerade, zusammenhängend sind.
Man bezeichnet sie mit Klammern ( ) [ ] und unterscheidet offene Intervalle
(wenn die Randpunkte nicht dazugehören), z.B.
(-1, 2) = { x Î R | -1 < x < 2 },
abgeschlossene Intervalle (wenn die Randpunkte dazugehören), z.B.
[-1, 2] = { x Î R | -1 £ x £ 2 }
und halboffene Intervalle wie
(-1, 2] = { x Î R | -1 < x £ 2 }.
Intervalle können nach oben oder nach unten unbeschränkt sein, wie z.B.
R+ = (0,¥) und
R0+ = [0,¥),
wobei ¥ das Symbol für ''unendlich'' ist.
- Inverse einer Zahl
- ist eine andere Bezeichnung für den Kehrwert einer Zahl.
- Inverse Funktion
- Ist eine Funktion
f : A ®
B
bijektiv, so kann die mit ihr verbundene Zuordnungsvorschrift
"umgedreht" werden. Dadurch entsteht eine andere, die zu f
inverse Funktion (Umkehrfunktion oder einfach Inverse)
f -1 :
B ®
A .
(Achtung: f -1(x) ist
nicht zu verwechseln mit f (x)-1
º 1/ f (x); hier ist die
Notation leider nicht konsistent).
Manchmal wird die zu f : x ® f(x)
inverse Funktion auch in der Form
x : f ® x( f )
angeschrieben. Diese Schreibweise drückt die Umkehrung der Zuordnungsvorschrift
besonders deutlich aus. Dabei ist allerdings zu beachten, dass
x nun eine Funktion bezeichnet und
f für die unabhängige Variable
steht.
Ist eine Funktion nicht bijektiv, so kann sie manchmal durch die Einschränkung
auf einen kleineren Definitionsbereich A
(und durch die Festlegung B = Wertebereich)
zu einer bijektiven Funktion gemacht werden.
Ein Beispiel dafür ist das Quadrieren: Zunächst ist es für alle reellen Zahlen definiert.
Wird aber A als die Menge aller nicht-negativen reellen Zahlen R0+ festgelegt (und der dadurch entstehende
Wertebereich, der ebenfalls R0+
ist, als B), so ist damit eine bijektive Funktion
definiert, deren Inverse das (eindeutige) Bilden der Quadratwurzel ist.
Weitere Beispiele für ein solches Vorgehen sind die inversen Winkelfunktionen.
- Inverse Funktion, Ableitung
-
Die Ableitung einer reellen Funktion f : x ® f(x)
ist gleich dem Kehrwert der Ableitung der zu f
inversen Funktion
x : f ® x( f ).
Als Formel lautet diese Regel:
|
|
oder,
anders
ausgedrückt: |
|
wobei vorausgesetzt ist, dass f und ihre Inverse
existieren und differenzierbar sind.
- Inverse Funktion: Graph und formale Eigenschaften
- Der Graph der
zu einer bijektiven reellen Funktion f
inversen Funktion f -1
geht aus jenem von f durch Spiegelung an der ersten Mediane
hervor.
Die Inverse einer Funktion
f : A ® B
kann durch einer der beiden Beziehungen
f -1(f (x))
= x
"xÎA
und
f (f -1(y))
= y
"xÎB
charakterisiert werden. Ausgedrückt durch das Symbol für die Verkettung
lauten sie
f -1 o f = idA
und
f o f -1
= idB ,
wobei idA und idB
für die identischen Funktionen auf den Mengen A
und B stehen.
Hier haben wir den tieferen Grund dafür, warum die inverse Funktion
mit dem Symbol f -1
bezeichnet wird: Wird die Verkettung o als eine Art (nicht-kommutativer) Multiplikation
von Funktionen und die identische Funktion als die "Eins" aufgefasst,
so erinnern diese beiden Beziehungen an die Formel
a-1a = 1
für reelle Zahlen. f -1
erscheint "unter der Operation o" als "die Inverse" von
f.
- Inverse trigonometrische Funktionen
- bedeutet dasselbe wie inverse Winkelfunktionen.
- Inverse Winkelfunktionen
- oder Arcus-Funktionen (von lateinisch: arcus = der Bogen)
sind die inversen Funktionen der Winkelfunktionen.
Die wichtigsten sind Arcus Sinus,
Arcus Cosinus,
Arcus Tangens und
Arcus Cotangens. Da die Winkelfunktionen nicht
bijektiv sind, muss eigens festgelegt werden, in
welchem Bereich die Werte ihrer Inversen
liegen. Da Sinus und Cosinus
nicht surjektiv sind, sind für deren Inverse
nicht alle Argumente zulässig.
- Inverse Winkelfunktionen, Ableitungen
- Die Ableitungen der inversen Winkelfunktionen entnehmen Sie
Tabelle.
- Invertierbar(keit einer Funktion)
- ist eine andere Bezeichnung für die Bijektivität
einer Funktion.
- Irrationale Zahlen
- sind jene reellen Zahlen, die nicht rational sind,
d.h die sich nicht als Bruch ''ganze Zahl/ganze Zahl'' schreiben lassen.
Es sind dies genau jene reellen Zahlen, deren Dezimaldarstellung
weder abbricht noch periodisch ist.
Die Menge aller irrationalen Zahlen ist so ''groß'', daß sie sich nicht
''durchnumerieren'' lässt. Sie ist (im Gegensatz zur Menge der
rationalen Zahlen) überabzählbar.
Die rationalen Zahlen, mit denen man es in der Praxis so oft zu tun hat,
und die in so vielen Rechenaufgaben vorkommen, bilden
genau genommen nur eine verschwindende Minderheit!
Beispiele für irrationale Zahlen sind jene Quadratwurzeln aus
natürlichen Zahlen, die selbst keine
natürlichen Zahlen sind
(also Ö2, Ö3, Ö5 ...,
siehe Irrationalität von Ö2)
sowie die transzendenten Zahlen
p und
e.
- Irrationalität von Ö2
- Es ist nun seit mehr als zweitausend Jahren bekannt, daß die Diagonale des
Quadrats in keinem ''rationalen Verhältnis'' zur Seitenlänge steht, d.h. daß
der Quotient Diagonale/Seitenlänge keine rationale Zahl ist.
Diese Erkenntnis geht wahrscheinlich auf die Pythogoräer des fünften vorchristlichen
Jahrhunderts zurück und dürfte damals eine der ersten
Grundlagenkrisen der Mathematik ausgelöst haben.
Der Quotient Diagonale/Seitenlänge im Quadrat ist gerade Ö2.
Hinter dem trocken klingenden Satz
''Ö2 ist eine irrationale Zahl''
steckt also mehr Geistesgeschichte, als man zunächst annehmen möchte.
Erst nach dieser Erkenntnis war der Weg frei zur langsamen Herausbildung des
Begriffs der
reellen Zahlen.
- Isomorph
- ist ein Begriff für die Verwandtschaft zwischen Mengen und Strukturen,
der viele Bedeutungen hat.
In seiner einfachsten Variante ist er
gleichbedeutend mit gleichmächtig.
Man könnte ihn etwa mit "ununterscheidbar, wenn durch eine bestimmte Brille betrachtet" oder
"gleich hinsichtlich einer bestimmten Struktur" wiedergeben.
So sind z.B. hinsichtlich der linearen Struktur zwei beliebige
Vektorräume derselben
Dimension zueinander isomorph.
Das mathematische Symbol für Isomorphie ist @ .
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