- Obere Schranke
- Siehe
beschränkt.
- Obermenge
- Eine Menge A heißt
Obermenge einer Menge B,
wenn B Teilmenge
von A ist.
Man schreibt dann A Ê B
(oder B Í A ).
- Obersumme
- Siehe Riemann-Integral.
- Offene Intervalle
- Siehe Intervalle.
- Optimierungsaufgabe
- Siehe Extremwertaufgabe.
- Ordinate
- ist die vertikale
Achse eines kartesischen
Koordinatensystems der Zeichenebene,
oft y-Achse
genannt. Ihr Gegenstück heißt Abszisse.
- Ordinaten-Abschnitt
- einer Geraden in der Zeichenebene bezeichnet die
y-Koordinate jenes Punktes, in dem
die Gerade die y-Achse schneidet.
Der Ordinaten-Abschnitt (oder "Abhscnitt auf der y-Achse")
ist eine der beiden in der expliziten Geradengleichung
auftretenden Konstanten. (Die andere ist der Anstieg).
- Ordnung der reellen Zahlen
- Von zwei verschiedenen reellen Zahlen ist immer eine kleiner
als die andere (die zweite daher größer als erste).
In Symbolen:
x < y
bzw.
y > x.
Um zu sagen, daß eine reelle Zahl kleiner oder gleich (kleiner-gleich)
bzw. größer oder gleich (größer-gleich) einer anderen ist,
schreibt man
x £ y
bzw.
y ³ x.
Dieser Ordnung haben wir es zu verdanken, daß die Menge der reellen Zahlen
als Zahlengerade gedeutet werden kann. Auf ihr
übersetzt sich ''kleiner'' in ''links von'' und ''größer'' in
''rechts von''.
Weiters gibt diese Struktur Anlaß zu wichtigen Teilmengen von
R, den Intervallen.
- Ordnung einer Nullstelle
- Ein Polynom f
verhält sich in der Nähe einer
Nullstelle x0
(für x » x0)
immer wie
f(x) »
c(x - x0)n,
wobei n eine natürliche Zahl und
c eine von Null verschiedene Konstante ist.
n heißt die
Ordnung der Nullstelle x0.
Sie ist ein Maß dafür, wie schnell der Funktionswert gegen Null fällt, wenn sich
x der Stelle x0 annähert:
Der Graph von
f sieht nahe x0
ähnlich aus wie jener des Monoms cxn
nahe 0, und die Übereinstimmung ist umso besser, je kleiner der Abstand
|x - x0| ist.
Dieser Begriff der Ordung einer Nullstelle kann auf eine größere Klasse von Funktionen ausgedehnt werden
(insbesondere auf rationale Funktionen, Winkelfunktionen,
Exponential- und
Logarithmusfunktionen und deren rationale Kombinationen), und er kann auf Funktionen verallgemeinert werden, die auf der Menge der komplexen Zahlen definiert sind.
Hier einige
für Nullstellen verschiedener Ordnung.
Allerdings gibt es auch Funktionen, deren Nullstellen nicht in dieses Schema passen (wie zum Beispiel die
Betragsfunktion).
- Ordnung eines Pols
- Die Funktion f besitzt an der Stelle
x0 einen Pol
n-ter Ordnung, wenn
1/f an dieser Stelle eine
Nullstelle n-ter
Ordnung besitzt.
Daraus folgt, dass sich f in der
Nähe der Polstelle (für x » x0)
wie f(x) »
k(x - x0)-n
verhält, wobei k eine von Null verschiedene Konstante ist.
Ist f eine rationale Funktion, so kann
die Ordnung eines Pols bestimmt werden, indem (nach Beseitigung allfälliger
Definitionslücken) im Nenner
die höchstmögliche Potenz von
x - x0
abgespaltet wird.
- Ordnung eines Polynoms, einer Gleichung, einer Funktion
- Die Ordnung
(der Grad) eines Polynoms ist die
höchste auftretende Potenz der Variable.
Dementsprechend spricht man von der Ordnung (dem Grad)
einer Gleichung oder einer Funktion.
Die Bezeichnung "linear" bezieht sich meist auf ein Polynom (eine Gleichung, eine Funktion) erster Ordnung
(siehe lineare Gleichung, lineare Funktion),
die Bezeichnungen "quadratisch" und "kubisch" auf Objekte zweiter und dritter Ordnung
(siehe quadratische und kubische Gleichung,
Funktion zweiter und dritter Ordnung), während
mit "nullter Ordnung" etwas Konstantes, das von der Variable nicht abhängt, gemeint ist
(siehe konstante Funktion).
- Orientierte Projektion
- Schließen zwei Vektoren einen spitzen Winkel ein, so wird darunter
Länge der Projektion des einen Vektors in die Richtung des anderen bezeichnet.
Schließen die Vektoren einen stumpfen Winkel ein, so wird darunter das
Negative dieses Länge verstanden. Die orientierte Projektion ist eng mit dem
Skalarprodukt verbunden.
- Orientierter Flächeninhalt
- Wird eine Fläche entlang ihre Randes durchlaufen, so tragen jene Teile der Fläche,
die links liegen, mit positivem, jene, die rechts liegen, mit
negativem Vorzeichen zum orientierten Flächeninhalt bei.
Wird beim bestimmten Integral
òabf(x)dx
für stetiges f
die Umrundung der Fläche zwischen dem Graphen
von f und der
x-Achse damit begonnen, dass
entlang der x-Achse
von der Stelle a zur Stelle
b gegangen ist, entsteht folgende Regel:
- Ist a < b,
so tragen Flächenstüche oberhalb der x-Achse
mit positivem Vorzeichen, Flächenstüche unterhalb der x-Achse
mit negativem Vorzeichen bei.
- Ist a > b,
so tragen Flächenstüche oberhalb der x-Achse
mit negativem Vorzeichen, Flächenstüche unterhalb der x-Achse
mit positivem Vorzeichen bei.
Diese Konvention wird bei der Anwendung des
Hauptsatzes der Differential- und Integralrechnung
automatisch berücksichtigt.
Für unstetige Integranden existiert zwar kein zusammenhängender Rand,
den man entlanglaufen könnte, aber der Begriff des orientierten
Flächeninhalts wird sinngemäß auch auf diesen Fall übertragen.
- Orientierter Volumsinhalt
- Bilden drei räumliche Vektoren ein Rechtssystem, so wird darunter der
Volumsinhalt des von ihnen aufgespannten Parallelepipeds verstanden, bilden sie ein
Linksystem, so wird darunter das Negative dieses Volumens verstanden.
- Orthogonal
- Siehe normal.
- Ortsvektor
- Ein Vektor, geometrisch dargestellt als Pfeil,
kann dazu benutzt werden, den Ort eines Punktes anzugeben. Man spricht dann vom Ortsvektor
dieses Punktes. Das Konzept des Ortsvektors kommt durch die Identifizierung von
Vektor-Komponenten mit Punkt-Koordinaten
zustande. Hat etwa ein Punkt A die Koordinaten
(2, 3), so ist sein Ortsvektor
A = (2, 3).
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