- Überabzählbar
- heißt eine Menge mit unendlich vielen Elementen,
wenn sie nicht abzählbar ist, d.h.
wenn sich ihre Elemente nicht ''durchnumerieren'' lassen.
(Genauer ausgedrückt heißt das, daß es keine
bijektive Funktion von der Menge der
natürlichen Zahlen in die gegebene Menge gibt.
Das ist genau dann der Fall, wenn diese Menge zur Menge der natürlichen Zahlen
nicht gleichmächtig ist).
Im Gegensatz zu den natürlichen, den ganzen
und den rationalen Zahlen (welche allesamt
abzählbaren Mengen bilden) sind die Menge der
reellen und die Menge der irrationalen Zahlen
überabzählbar.
Der Beweis für die Überabzählbarkeit der reellen Zahlen
(das Cantor'sche Diagonalverfahren)
ist nicht schwer zu verstehen.
- Umkehrfunktion
- ist ein anderer Name für inverse Funktion.
- Umkreis eines Dreiecks
- ist jener eindeutig bestimmte Kreis, auf dem alle drei Eckpunkte des
Dreiecks liegen. Der Umkreismittelpunkt ist der
Schnittpunkt der drei Seitensymmetralen. Er ist einer der vier
so genannten merkwürdigen Punkte im Dreieck.
Für den Umkreisradius R ergeben sich aus dem
Sinussatz die Formeln
R =
a/(2
 sina) =
b/(2sinb) =
c/(2sing).
- Umrechnen von Basen für Potenzen und Logarithmen
- Potenzen,
Exponentialfunktionen und
Logarithmen können in Bezug auf
verschiedene Basen dargestellt werden.
So kann beispielsweise 32x
(d.h. unter der Verwendung der Basis 3)
auch als 9x
(also in Bezug auf die Basis 9) geschrieben werden. Da zudem für verschiedene
Zwecke verschiedene Basen benutzt werden (die bevorzugten Basen sind 10,
die natürliche Basis
e
und 2), ist es manchmal notwendig, derartige Größen zwischen
verschiedenen Basiskonventionen umzurechnen. Die entsprechenden
haben wir den Rechenregeln für den Logarithmus angefügt.
Sie mögen auf den ersten Bilck recht kompliziert erscheinen, bestehen aber lediglich
in der Einfügung von Umrechnungsfaktoren an geeigneten Stellen.
- Unabhängigkeit von Ereignissen
- Siehe statistische Unabhängigkeit von Ereignissen.
- Unbestimmte Form
- Besitzen zwei reellen Funktionen
f und g
eine gemeinsame Nullstelle x0,
d.h. gilt f(x0) = g(x0) = 0,
so ist ihr Quotienten f(x)/g(x).
an dieser Stelle x0 nicht
wohldefiniert. Wird versucht, dennoch
x = x0 einzusetzen,
so entsteht die "unbestimmte Form 0/0", also ein
sinnloser Ausdruck. In ähnlicher Weise führt der Quotient zweier
Funktionen, die eine gemeinsame Unendlichkeitsstelle
besitzen, auf eine "unbestimmte Form ¥/¥",
und entsprechende Produkte führen auf
"unbestimmte Formen 0 × ¥".
Manchmal handelt es sich dabei um
Definitionslücken, die stetig geschlossen werden können.
In diesem Fall hilft die Regel von de l'Hospital,
den Grenzwert der unbestimmten Form für
x ® x0
zu bestimmen.
- Unbestimmtes Integral
- ist ein anderer Name für die Stammfunktion.
- Uneigentliches Integral
- Wandert in einem bestimmtes Integral (zumindest) eine der Grenzen
gegen (plus oder minus) unendlich
oder wird der Integrationsbereich bis zu einer Unendlichkeitsstelle des Integranden
ausgedehnt, so spricht man von einem uneigentlichen Integral.
Uneigentliche Integrale werden in geeigneter Weise als Grenzwerte
gewöhnlicher Integrale definiert.
Auf diese Weise ergeben sich zum Beispiel interessante Erkenntnisse über die ins Unendliche reichenden
Flächenstücke unter den Graphen der Potenzfunktionen mit negativem Exponenten.
So gilt ò1¥
 x-2dx = 1
und
ò01x-1/2dx = 2,
wohingegen die Integrale
ò1¥x-1dx
und
ò01x-1dx
divergieren (d.h. unendlich sind).
- Unendliche Menge
- ist eine Menge, die unendlich viele Elemente erhält
(im Gegensatz zu einer endlichen Menge).
- Unendlichkeitsstelle
- ist eine Singularität, die darin besteht, dass die Werte einer
reellen (oder komplexen) Funktion in der Nähe einer isolierten Stelle
unbeschränkt wachsen. Beispiel: die Stelle x = 0
der Funktion 1/x. Häufig (wie auch in diesem Beispiel) handelt es sich dabei um eine Polstelle.
- Ungerade Funktion
- ist eine andere Bezeichnung für antisymmetrische Funktion.
- Ungleichungen im Dreieck
- In jedem Dreieck ist
die Summe zweier Seiten stets größer als die dritte Seite, und
der Betrag der Differenz zweier Seiten stets kleiner als die dritte Seite.
- Untermenge
- Siehe Teilmenge.
- Untersumme
- Siehe Riemann-Integral.
- Unstetig
- heißt eine reelle Funktion, die nicht
stetig ist. Die einfachsten unstetigen Funktionen haben
Sprungstellen. An diesen ist die Funktion zwar definiert, der Graph
ist aber "auseinandergerissen" (also keine zusammenhängende Kurve).
Kleine Änderungen des Arguments können
große Änderungen des Funktionswerts zur Folge haben.
Beispiele für unstetige Funktionen sind
die Theta-Funktion, die Signumfunktion
und die Treppenfunktionen
(zu denen die durch die verschiedenen Rundungsverfahren
definierten Funktionen und die charakteristische Funktion einer Menge gehören).
- Untere Schranke
- Siehe beschränkt.
- Ursprung
- heißt der Schnittpunkt der
Koordinaten-Achsen in einem
geradlinigen,
d.h. kartesischen (rechtwinkeligen) oder
schiefwinkeligen Koordinatensystem. Die Werte
seiner Koordinaten sind Null.
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