- Tangens
- Eine der vier wichtigsten Winkelfunktionen.
Der Tangens eines Winkels a, geschrieben
tan a oder tan(a),
ist im rechtwinkeligen Dreieck das Verhältnis "Gegenkathete/Ankathete".
In Formeln:
tan a = sin a/cos a.
Der Tangens des Neigungswinkels einer Geraden ist gleich deren Anstieg.
Andere Bezeichnung: tg.
Die Tangensfunktion ist periodisch mit (kleinster) Periode p.
Siehe auch Winkelfunktionen für spezielle und für
kleine Winkel, sowie
Summensätze für Winkelfunktionen.
Steckbrief der
.
- Tangens, Ableitung
- Die Ableitung des Tangens entnehmen Sie
Tabelle.
- Tangens Hyperbolicus
- ist die als
tanh x =
sinh x/cosh x
definierte Hyperbelfunktion.
- Tangens Hyperbolicus, Ableitung
- Die Ableitung des Tangens Hyperbolicus entnehmen Sie
Tabelle.
- Tangenssatz
- Der Tangenssatz ist eine von vielen in jedem Dreieck geltenden trigonometrischen Beziehungen.
- Tangente
- Intuitiv ist klar, was eine Tangente ist.
Mit Hilfe des Begriffs der Ableitung können wir
genauer definieren, was wir unter einer (nicht zur vertikalen Achse parallelen)
Tangente an einen Funktionsgraphen verstehen:
Ist die reelle Funktion f
an der Stelle x0
differenzierbar, so ist die zugehörige
Tangente an den Graphen die
Gerade mit Anstieg f '(x0)
durch den Punkt
(x0, f(x0).
- Tangentenproblem
- d.h. das Problem, die Tangente an eine Kurve (insbesondere an den
Graphen einer reellen Funktion)
zu bestimmen, war der Ausgangspunkt der Entwicklung der Differentialrechnung.
Über den Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung
ist es eng mit dem Flächeninhaltsproblem verwandt.
- Teiler
- Kann die natürliche Zahl n
ohne Rest durch die natürliche Zahl
k dividiert (''geteilt'') werden
(d.h. ist der Quotient n/k Î N),
so heißt
k Teiler von n
(man sagt auch
''k teilt n'').
Falls k Teiler von n
ist, ist n Vielfaches von
k, und es gibt ein
m Î N,
sodaß
n = k m
ist.
Will man auch negative Zahlen betrachten,
so kann das Konzept des Teilers in analoger Weise auf die ganzen Zahlen ausgedehnt werden.
- Teilmenge
- Eine Menge B
heißt Teilmenge (oder Untermenge) einer Menge
A,
wenn jedes Element von B
auch Element von A ist
(d.h., wenn aus x Î B folgt, daß x Î A gilt).
Man schreibt dann B
Í A
(oder A
Ê B).
Sind A und B
voneinander verschieden, so heißt
B echte Teilmenge von A.
- Teilerfremd
- oder relativ prim heißen zwei oder mehrere
natürliche Zahlen, die - außer 1 -
keinen gemeinsamen Teiler haben.
In ihren Primfaktorzerlegungen treten dann
keine gemeinsamen Primzahlen auf.
- Teilungspunkt
- Siehe Streckenteilung.
- Term
- Ein Term ist - salopp formuliert - ein mathematischer Ausdruck,
in dem Symbole (Buchstaben) vorkommen, an deren Stelle Zahlen (oder sonstige
mathematische Objekte) eingesetzt werden
können. Diese Symbole heißen Variable.
Erst nach Einsetzen konkreter Zahlen nimmt ein Term einen konkreten Zahlenwert an.
Mit Termen lässt sich daher im Prinzip genauso rechnen wie mit Zahlen.
Terme sind ein wichtiges Hilfsmittel, mathematische Sachverhalte und Probleme
zu formulieren:
-
Allgemeine Rechenregeln werden oft als Identitäten
zwischen Termen formuliert:
-
Eine Formel stellt eine Größe durch andere
Größen als Term dar.
-
Eine Gleichung ist die
Behauptung, daß zwei Terme gleich sind. (Eine solche Behauptung ist in der Regel
nur für bestimmte Werte der Variablen - den Lösungen - eine wahre Aussage).
-
Die Abhängigkeit einer
Funktion von ihrer (oder ihren) Variablen lässt sich
oft durch die Angabe
eines Terms darstellen (siehe Termdarstellung).
Kritische Nachbemerkung: Daß ein Term ein "Ausdruck" ist, ist keine sehr klare
Aussage. Wir verstehen darunter zunächst einen Ausdruck, der sich aus einer oder
mehreren Variablen durch die Anwendung der Grundrechnungsarten aufbauen lässt,
wie z.B.
(3x2 +
y)/(3x -
z). Andererseits werden Ausdrücke, die
andere Operationen oder bereits definierte Funktionen enthalten, wie beispielsweise
|x|
+ 1
oder
sin(x)/x,
auch bisweilen als Terme bezeichnet. Das Wort ist ein bißchen unscharf und wird
gern verwendet, wenn der Begriff der Funktion noch nicht zur Verfügung steht.
- Termdarstellung
- heißt die Beschreibung einer Funktion mittels eines
Terms.
Beispiel: Der Term
x2 + 1
definiert die Funktion (Zuordnungsvorschrift)
x ®
x2 + 1. Wird sie mit
f bezeichnet, so ist der Funktionswert zu jedem
x durch
f
(x) =
x2 + 1
gegeben. Diese Aussage wird manchmal auch als
y =
x2 + 1
angeschrieben und Funktionsgleichung genannt, der Term
x2 + 1
spielt in diesem Zusammenhang die Rolle eines
Funktionsausdrucks. Für den geometrischen Grund dieser Schreibweise
siehe Funktionsgraph.
Wird eine Funktion durch einen Term beschrieben (man spricht dann von einer termdefinierten Funktion), so muß auch ihr
Definitionsbereich
- d.h. die Menge aller x-Werte, auf
die sie wirken soll - angegeben werden.
Im obigen Beispiel kann er gleich der Menge der reellen Zahlen gewählt werden.
In diesem Fall ist
f :
R ®
R. Es eignet sich aber auch jede
Teilmenge von R als Definitionsbereich.
Achtung:
Ist ein Term für manche Werte der Variablen nicht wohldefiniert, so dürfen diese
nicht im Definitionsbereich der zugehörigen Funktion enthalten sein. So definiert der
Term 1/x die Zuordnungsvorschrift
x ®
1/x, deren Definitionsbereich so
gewählt werden muß, daß die Zahl 0 nicht in ihm liegt (also z.B.
als Menge der von Null verschiedenen reellen Zahlen
R*, wodurch mit
g
(x) =
1/x
eine Funktion
g :
R* ®
R entsteht).
Zwei Nachbemerkungen:
- Funktionsdarstellungen der obigen Form werden explizit genannt,
im Gegensatz zur impliziten Darstellung, in der die Abhängigkeit
einer Größe von einer anderen in eher versteckter Form vorliegt.
- Es gibt Funktionen, die keine geschlossene Termdarstellung
besitzen.
- Thaleskreis
- Siehe Satz von Thales.
- Theta-Funktion
- oder Heaviside-Funktion (auch Sprungfunktion) ist jene
unstetige Funktion
q :
R ® R,
die durch q(x) = 0
für x < 0,
q(0) = 1/2 und
q(x) = 1
für x > 0 definiert ist.
- Tiefpunkt
- Siehe Minimum, lokales.
- Transzendente Funktion
- Ohne diesen Begriff genau zu definieren, merken wir an,
dass sich die transzendenten Funktionen nicht durch die Grundrechnungsarten allein
darstellen und berechnen lassen und in gewissem Sinn das Gegenstück zu den
algebraischen Funktionen bilden.
Typische Beispiele sind die Winkelfunktionen, die
Exponential- und die
Logarithmusfunktionen).
- Treppenfunktionen
- sind unstetige Funktionen, die Sprungstellen aufweisen und zwischen diesen
konstant sind. Beispiele sind die durch die gebräuchlichen Rundungsverfahren
definierten Funktionen und die charakteristische Funktion einer Menge.
Treppenfunktionen werden dazu benutzt, um den Begriff des Integrals (genauer: des Riemann-Integrals)
genau zu definieren.
- Trigonometrie
- genauer ebene Trigonometrie, auch Dreiecksgeometrie, ist jenes Teilgebiet der Geometrie, das
die geometrischen Eigenschaften von Dreiecken in der Ebene untersucht.
Die wichtigsten mathematischen Werkzeuge der Trigonometrie sind die Winkelfunktionen,
zu ihren bedeutendsten Resultaten zählen der Sinussatz und der Cosinussatz.
Als Anwendungen sind im Mathematikunterricht besonders die Vermessungsaufgaben beliebt.
Eine Verallgemeinerung der ebenen ist die sphärische Trigonometrie,
die die geometrischen Eigenschaften von sphärischen Dreiecken, d.h. Dreiecken, die auf einer Kugeloberfläche leben,
untersucht.
- Trigonometrische Funktionen
- ist ein anderer Name für Winkelfunktionen.
- Trigonometrischer Monotoniesatz
- In jedem Dreieck liegt der größte Winkel der größten Seite, der kleinste Winkel der
kleinsten Seite gegenüber.
- Tripel
- Siehe geordnetes Paar und
Zahlenpaare, Zahlentripel und
n-Tupel.
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