- Faktor
- Siehe
Multiplikation.
- Faktorielle
- Ist n eine
natürliche Zahl, so ist
"n Faktorielle"
(geschrieben mit einem Rufzeichen als n! )
das Produkt aller natürlichen Zahlen, die kleiner-gleich
n sind:
|
n! = n × (n - 1) × (n - 2) × ... × 2 × 1. |
|
So ist beispielsweise 1! = 1, 2! = 2, 3! = 6 und 4! = 24.
Die Berechnung kann dank der Identität
schrittweise auf die jeweils vorhergehende Zahl zurückgeführt werden. Es ist zweckmäß,
0! = 1 zu
definieren.
Eine andere Bezeichnung für Faktorielle ist "Fakultät".
- Fakultät
- Siehe Faktorielle.
- Familie von Funktionen
- auch Funktionenschar, ist eine Menge von Funktionen, deren Elemente durch die
Werte einer (oder mehrerer) Konstante, der Parameter, voneinander unterschieden werden.
So stellt beispielsweise
ft(x)
= (x -
t)2
- t2
für jeden Wert des Parameters t
eine Funktion dar. Man kann sich t
als Zeit vorstellen. Die Familie wird dann zu einem "Film", in dem zu jedem Zeitpunkt eine andere Funktion
vorliegt.
Ganz allgemein sind die "Konstanten", die so oft in Funktionstermen vorkommen,
Parameter, da ein solcher Term nicht eine Funktion, sondern eine ganze Familie von Funktionen definiert.
- Figur, geometrische
- Siehe den Exkurs unter klassische Geometrie.
- Flächenberechnung
- Für die Berechnung der Inhalte von Flächen, die von Kurven begrenzt werden, ist die
Integralrechnung zuständig.
So lässt sich der (orientierte) Flächeninhalt unter dem
Graphen einer reellen Funktion
als bestimmtes Integral darstellen.
Der Inhalt der Fläche zwischen zwei Funktionsgraphen ist, für den Fall, dass
eine der beiden Funktionen im gesamten betrachteten Bereich größer als die andere ist,
durch das bestimmte Integral über ihre Differenz gegeben.
- Flächeninhalt des Dreiecks
- Für den Flächeninhalt A eines Dreiecks gibt es eine Reihe von Formeln.
Die einfachste ist
A = Grundlinie × Höhe
 /2,
drei weitere sind mit dem Sinussatz verbunden und lauten
A =
(ab/2)sing =
(bc/2)sina =
(ca/2)sinb.
Siehe auch Heronsche Formeln.
- Flächeninhalt des sphärischen Dreiecks
- Der Flächeninhalt eines sphärischen Dreiecks
auf einer Kugeloberfläche vom Radius r ist durch
A = r2(a
+ b + g - p)
gegeben, wobei die Winkel im Bogenmaß ausgedrückt sind. Die Größe
a + b
+ g - p
heißt sphärischer Exzess.
- Flächeninhaltsproblem
- Das Problem, den Flächeninhalt (genauer: den orientierten Flächeninhalt) unter dem
Graphen einer reellen Funktion
zu ermitteln, war der Ausgangspunkt der Entwicklung der Integralrechnung.
Über den Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung
ist es eng mit dem Tangentenproblem verwandt.
- floor
- ist die Bezeichnung für das durch die Regel "immer abrunden" definierte Rundungsverfahren:
floor x
ist die größte ganze Zahl, die £ x
ist (oder einfach der ganzzahlige Anteil von x).
- Formel
- Der Begriff der Formel ist ein bißchen unscharf.
Oft wird darunter ein Term verstanden,
der irgendeine Größe durch andere Größen darstellt.
(Es liegt dann eine Formel für diese
Größe vor). Manchmal werden aber
auch ganz allgemein mathematische Aussagen, in denen Terme vorkommen
(wie z.B. Identitäten
oder Termdarstellungen von Funktionen) als Formeln
bezeichnet.
Im Begriff der Formel schwingt die Idee eines gebrauchsfertigen "Kochrezepts" mit, zu dessen
Anwendung es keiner tieferen Kenntnisse der Mathematik bedarf - im Gegensatz
zur Gleichung, die zu lösen
mitunter auf verzwickte Probleme führen kann.
- Fraktal
- ist eine Punktmenge, die (im Gegensatz zu einer "glatten" Kurve oder Fläche) bei
wachsender Vergrößerung ("Hineinzoomen") immer weitere Details an Struktur erkennen lässt.
Wiederholen sich diese Strukturen (näherungsweise), so spricht man vom Phänomen der
Selbstähnlichkeit.
- Frequenz
- Siehe
harmonische Schwingung.
- Funktion
- Eine Funktion (auch Abbildung genannt) ist eine Zuordnung
(oder Zuordnungs-Vorschrift).
Sind A und B
zwei Mengen, so ist eine "Funktion
von A
nach B"
(oder: "von der Menge A in die Menge
B") eine Vorschrift,
die jedem Element von A in eindeutiger Weise
ein Element von B zuordnet.
Um auszudrücken, daß f
eine solche Zuordnung ist, wird
geschrieben. Ist
x Î
A, so wird das zugeordnete Element
der Menge B als
f (x)
geschrieben (sprich:"f von x")
und heißt Funktionswert (an der Stelle
x). Eine andere Schreibweise dafür ist
f : x
®
f (x).
Das Symbol x heißt
Variable (auch unabhängige Variable oder Argument genannt).
Um anzudeuten, dass das Argument einer Funktion f
mit dem Symbol x bezeichnet wird, kann auch
f º f(x)
("f ist eine Funktion, die von
x abhängt")
geschrieben werden.
In vielen uns interessierenden Fällen sind die Mengen
A
und B entweder gleich der Menge der
reellen Zahlen oder Teilmengen davon.
(In diesem Fall spricht man auch von einer reellen Funktion in einer Variablen). Funktionen dieses Typs drücken die
Abhängigkeit einer reellen Größe von einer anderen aus.
Hängt eine Größe
von mehreren anderen Größen ab, so definiert diese Situation eine
Funktion in mehreren Variablen, und die Menge
A besteht aus Kombinationen von reellen Zahlen
(z.B. aus Zahlenpaaren).
Wir stellen Ihnen zwei Einstiegshilfen zur Verfügung, die Sie als Abschnitte des
Kapitels Funktionen 1 der Mathematischen Hintergründe
wiederfinden können:
Funktionen können graphisch dargestellt (gleichsam in Bilder verwandelt) werden
(siehe Funktionsgraph).
Weitere wichtige mit dem Begriff der Funktion verbundene Stichworte sind
Definitionsbereich,
Wertebereich,
Wertetabelle,
Termdarstellung,
Nullstelle, injektiv, surjektiv,
bijektiv und stetig.
Zu den globalen Eigenschaften von Funktionen zählen
Monotonie, Symmetrieeigenschaften, Periodizität,
Beschränktheit und
Konvexitätsverhalten.
Es gibt mehrere Möglichkeiten, aus Funktionen weitere Funktionen zu machen:
Siehe Funktionen kombinieren, Verkettung und
Verschiebungen und Streckungen.
- Funktion dritter Ordnung
- auch kubische Funktion genannt,
ist eine Funktion, deren
Termdarstellung ein Polynom
dritter Ordnung ist:
x ®
a x3 +
b x2 +
c x + d,
wobei die Koeffizienten a
(¹ 0), b,
c
und d fix vorgegeben sind.
- Funktionen auf diskreten Mengen
- sind Funktionen
f : A ® B ,
wobei A eine endliche Menge
oder die Menge N
der natürlichen Zahlen
und B eine beliebige Menge ist.
Beispiele sind Permutationen und Folgen.
- Funktionen in mehreren Variablen
- auch mehrstellige Funktionen genannt, sind Funktionen
f : A ® B ,
wobei A entweder
Rn
(die Menge aller reellen "n-Tupel")
oder eine Teilmenge des Rn
und B eine beliebige Menge ist.
Beispielsweise ist die Fläche eines Rechtecks mit Seitenlängen
x und y
durch f(x, y) =
xy
gegeben. Jedem Paar
(x, y)
ÎR2
wird der Funktionswert
f(x, y),
d.h. das Produkt xy zugeordnet.
Der Graph einer Funktion in mehreren Variablen
ist ein höherdimensionales Objekt. Im Fall von zwei Variablen kann er,
sofern die Funktion stetig ist, als Fläche im
dreidimensionalen Raum dargestellt werden:
Jedem Punkt der Ebene, der durch ein Zahlenpaar
(x, y)
ÎR2
festgelegt ist,
wird der Funktionswert f(x, y)
als z-Koordinate in die dritte Richtung ("Höhe") zugeordnet.
- Funktionen kombinieren
- Es ist auf verschiedene Weise möglich, aus gegebenen Funktionen weitere Funktionen zu konstuieren:
- Punktweise Anwendung der Grundrechnungsarten für Funktionen
A ® R :
Durch die Definition
(f + g)(x)
= f(x)
+ g(x)
"xÎA
wird aus f und g
eine neue Funktion f + g gemacht. Diese Operation heißt
"punktweise Summe" von f und g,
da sie für jeden "Punkt" x die Summe zweier
Funktionswerte darstellt. In analoger Weise kann die Differenz, das Produkt und
(wenn alle Funktionswerte ungleich Null sind) der Quotient zweier Funktionen definiert werden.
- Die Verkettung (das Hintereinander-Ausführen) von Funktionen.
- Verschiebungen und Streckungen von Argument und Funktionswert, die sich direkt auf die
Graphen übertragen.
|
- Funktionen ohne geschlossene Termdarstellung
- sind Funktionen, die sich nicht in Form eines
Terms darstellen lassen, der aus den "elementaren" Funktionen der Mathematik (Potenzen, Winkelfunktionen,
Exponential- und Logarithmusfunktionen)
und deren Kombinationen durch die Grundrechnungsarten aufgebaut ist. Zwei Beispiele sind der Umfang der Ellipse
(der sich nicht geschlossen durch die Halbachsen ausdrücken lässt) und die
Kepler-Gleichung.
- Funktionenschar
- ist eine andere Bezeichnung für eine
Familie von Funktionen.
- Funktion erster Ordnung
- ist eine Funktion, deren
Termdarstellung ein Polynom
erster Ordnung ist:
x ®
k x + d,
wobei die Koeffizienten k
(¹ 0)
und d
fix vorgegeben sind. Die Graphen dieser Funktionen sind
Geraden.
Funktionen erster Ordnung werden oft als lineare
Funktionen bezeichnet (wobei dieser Begriff nicht ganz eindeutig ist).
- Funktionsausdruck
- Siehe Termdarstellung.
- Funktionsdarstellung, explizite
- Siehe explizite Funktionsdarstellung.
- Funktionsdarstellung, implizite
- Siehe implizite Funktionsdarstellung.
- Funktionsgleichung
- Siehe Termdarstellung.
- Funktionsgraph
- Ist f :
A ®
B eine Funktion,
d.h. eine Zuordnung von der Menge A in die Menge
B,
so ist ihr Graph die Menge aller geordneten Paare
der Form (x,
f(x)),
für die
x Î
A ist.
Sind die Mengen A
und B
gleich der Menge R der reellen Zahlen, so
ist der Graph von f in der Mengenschreibweise durch
oder, anders angeschrieben, durch
|
{ (x, y) Î R2 | y = f (x) } |
|
gegeben. Die zweite Version besagt: der Graph ist die Lösungsmenge der "Funktionsgleichung"
y =
f (x)
(welche eine Gleichung in zwei Variablen x und y
ist, siehe auch Termdarstellung)
über der Grundmenge R2.
Da die Menge R2 als
Zeichenebene interpretiert werden kann, ist der Graph
von f eine Teilmenge derselben. In einem
xy-Koordinatensystem
wird zu jedem frei
gewählten x der zugehörige
Funktionswert f (x)
als y-Wert aufgetragen.
Dadurch entsteht eine graphische Darstellung der Wirkungsweise der Funktion.
Oft (aber nicht immer) handelt es
sich dabei um Kurven, und in der Mehrzahl der
uns interessierenden Fälle sind diese Kurven "glatt", d.h. sie haben keine
Ecken.
Jeder solcherart eingezeichnete Punkt mit Koordinaten (x,
f(x))
entspricht einer Zeile in einer Wertetabelle.
Ist die Menge A (der Definitionsbereich von
f )
eine Teilmenge von R, so sind die
x-Werte entsprechend einzuschränken.
Entsteht A
aus R durch Wegnahme eines einzelnen Punktes,
so zerfällt der Graph in zwei getrennte "Äste" (wie es beispielsweise
bei der Funktion
x ®
1/x der Fall ist).
Hier können Sie ein paar
für Graphen einfacher
Potenzfunktionen mit ganzzahligen Exponenten anschauen.
Verwenden Sie den untenstehenden Funktionsplotter, um Graphen von
Funktionen ihrer Wahl zu betrachten!
Am Graphen einer Funktion lassen sich viele ihrer Eigenschaften (wie zum Beispiel die
- zumindest ungefähre - Lage der Nullstellen oder das
Monotonie-Verhalten "mit freiem Auge" erkennen.
Das Konzept des Graphen gehört zu den wichtigsten Instrumenten zur Veranschaulichung
mathematischer Sachverhalte.
Der Graph einer Funktion in mehreren Variablen
ist ein höherdimensionales Objekt. Im Fall von zwei Variablen kann er,
sofern die Funktion stetig ist, als Fläche im
dreidimensionalen Raum dargestellt werden.
- Funktions-Plotter
- Ein nützliches Werkzeug für den täglichen Gebrauch, um
Graphen von Funktionen darzustellen und zu analysieren,
sowie Gleichungen numerisch zu lösen.
- Funktionsuntersuchung
- ist eine andere Bezeichnung für Kurvendiskussion.
- Funktionswert
- Ist f :
A ®
B eine Funktion,
so wird jedem Element
x Î
A
ein Element
f (x) Î
B zugeordnet. Letzteres heißt
Funktionswert (an der Stelle
x).
- Funktion zweiter Ordnung
- auch quadratische Funktion genannt,
ist eine Funktion, deren
Termdarstellung ein Polynom
zweiter Ordnung ist:
x ®
a x2 +
b x + c,
wobei die Koeffizienten a
(¹ 0), b
und c
fix vorgegeben sind. Die Graphen dieser Funktionen sind
Parabeln.
- ''Für alle''
- kann durch das Symbol " abgekürzt werden.
- ''Für die gilt''
- wird bei der Definition von Mengen durch das Symbol
| abgekürzt.
Beispiel: A = { x |
x ist eine gerade Zahl größer als 10 }
wird gelesen als
''A ist die Menge aller
x für die gilt:
x ist eine gerade Zahl größer als 10''.
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|