- Nach oben offen
- Siehe konvex.
- Nach unten offen
- Siehe konkav.
- Näherungsformeln
- der Art
"sin x
» x, wenn
|x| klein"
oder
"cos x
» 1 - x2/2, wenn
|x| klein"
können sehr leicht mit Hilfe der Regel von de l'Hospital
gewonnen werden.
- Natürliche Basis
- Die Eulersche Zahl
e
wird oft als bevorzugte ("natürliche") Basis
für die Formulierung von
Exponentialfunktionen,
exponentiellen Prozessen und Logarithmen
verwendet.
Siehe auch exp, natürlicher Logarithmus und
Umrechnen von Basen für Potenzen und Logarithmen.
- Natürlicher Logarithmus
- ist der Logarithmus zur Basis
e, der
so genannten natürlichen Basis, und wird
mit dem Symbol ln (logarithmus naturalis) bezeichnet. Er ist die
zur Funktion exp inverse Funktion. Siehe auch
Umrechnen von Basen für Potenzen und Logarithmen.
Steckbrief des natürlichen
.
- Natürliche Zahlen
- sind die Zahlen, mit denen wir zählen: 1, 2, 3, 4, 5,...
Auf der Zahlengeraden bilden sie eine Abfolge von Punkten
im Abstand 1, von 1 aus nach rechts gehend.
Die Menge aller natürlichen Zahlen wird mit N
bezeichnet. Weiters verwenden wir die Bezeichnung
N0 = {0} È N für die natürlichen Zahlen
zusammen mit der Zahl 0.
Die natürlichen Zahlen können dazu verwendet werden, Objekte ''durchzunumerieren''.
Dies führt zu den Begriffen der Abzählbarkeit und der
Folge.
Jede natürliche Zahl hat einen Nachfolger, und jede natürliche Zahl wird getroffen,
wenn, von 1 ausgehend, von Nachfolger zu Nachfolger gesprungen wird. Diese Struktur ist sehr
wichtig für viele Themen der modernen Mathematik, z.B. für die Methode des
Induktionsbeweises.
Achtung:
In manchen Lehrbüchern wird die Null zu den natürlichen Zahlen hinzugenommen
und als "Menge der natürlichen Zahlen"
N das bezeichnet, was wir
N0 genannt haben.
- Nebenbedingung
- Siehe Extremwertaufgabe.
- Nenner
- Siehe Bruch.
- Nenner rational machen
- ist ein Verfahren, durch geeignetes Erweitern eines Bruchs
(siehe Bruchrechnen) eine Wurzel
vom Nenner in den Zähler zu bringen.
- Neugrad
- In diesem Winkelmaß wird der volle Winkel in
400 gon (oder "Neugrade") unterteilt, im Gegensatz zu den 360° ("Altgrad") des gebräuchlicheren
Gradmaßes. Es wird hauptsächlich im
Vermessungswesen verwendet und findet sich bisweilen als GRD-Taste am Taschenrechner.
- Newton-Verfahren zur Lösung von Gleichungen
- Das Newtonsche Verfahren ist eine Methode zum näherungsweisen Auffinden
der Nullstellen einer
differenzierbaren Funktion f.
Beginnend mit einem Schätzwert x0
für eine Nullstelle werden Schritt für Schritt gemäß der Formel
| |
xn + 1 = xn - |
f(xn)
f '(xn) |
|
|
weitere Näherungswerte
x1,
x2,... berechnet.
Unter gewissen Voraussetzungen konvergiert diese Folge
gegen die gesuchte Nullstelle. Das Verfahren hat eine einfache geometrische Interpretation:
Die Tangente an den Graphen von
f
im Punkt
(xn, f(xn))
wird bis zur
x-Achse verfolgt, um den nächsten Schätzwert
xn + 1
zu bestimmen. Für eine konkrete Anwendung, derer sich Computer bedienen, siehe
Quadratwurzel, numerische Berechnung.
- Nicht geschlossen integrierbar
- wird eine Funktion genannt, deren Stammfunktion zwar existiert,
aber nicht durch elementare Funktionen (Potenzen,
Winkelfunktionen, Exponential- und
Logarithmusfunktionen und beliebige Kombinationen dieser mit Hilfe
der Grundrechnungsarten) in Form eines "geschlossenen" Ausdrucks angegeben werden kann.
Beispiele solcher Funktionen:
(sin x)/x
(ihre Stammfunktion heißt "Integralsinus"),
ex2 und
e-x2
(ihre Stammfunktion heißt "Gaußsche Fehlerfunktion").
- Nirgends differenzierbar
- Aus der exakten Formulierung der Differenzierbarkeit folgt,
dass es Funktionen gibt, die zwar an jeder Stelle stetig, aber an keiner Stelle
differenzierbar sind.
- Normal
- Zwei Vektoren stehen aufeinander
normal (orthogonal), wenn ihr Skalarprodukt gleich
0 ist.
- Normalform der linearen Gleichung
- Siehe Lineare Gleichung.
- Normalform der quadratischen Gleichung
- Siehe Quadratische Gleichung.
- Normalvektor
- bezeichnet einen zu einem gegebenen Vektor, einer Geraden oder einer
Ebene normal stehenden Vektor.
Merkregel: Ist der ebene Vektor (a, b)
gegeben, so ist (-b, a) ein Vektor
normal zu ihm.
- Normalvektor einer Ebene
- ist ein Vektor, der auf sie normal steht.
Ist die Ebene durch eine Ebenengleichung gegeben,
so bilden die Koeffizienten die Komponenten eines Normalvektors.
Aus dieser Beobachtung entsteht die Normalvektorform der Ebene.
- Normalvektor einer Geraden
- in der Zeichenebene ist ein Vektor,
der auf sie normal steht.
Ist die Gerade durch eine implizite Geradengleichung gegeben,
so bilden die Koeffizienten die Komponenten eines Normalvektors.
Aus dieser Beobachtung entsteht die Normalvektorform der Geraden.
- Normalvektorform einer Ebene
- Werden die in einer Ebenengleichung auftretenden Koeffizienten p, q und r
zu einem Vektor
n = (p, q, r)
zusammengefasst, so ist dieser
ein Normalvektor der Ebene, und die Ebenengleichung kann mit
x = (x, y, z)
und der Verwendung des Skalarprodukts in der Normalvektorform
n
 x
= c
geschrieben werden.
Ist P ein Punkt der Ebene, so nimmt die Ebenengleichung die Form
nx
= nP
oder
n(x
- P) = 0
an. Diese Darstellung ist für viele Zwecke nützlich.
Siehe auch Abstand Punkt - Ebene.
- Normalvektorform einer Geraden in der Ebene
- Werden die in einer impliziten
Geradengleichung auftretenden Koeffizienten a und b
zu einem Vektor
n = (a, b)
zusammengefasst, so ist dieser
ein Normalvektor der Geraden, und die Geradengleichung kann mit
x = (x, y)
und der Verwendung des Skalarprodukts in der Normalvektorform
nx
= c
geschrieben werden. Ist P ein
Punkt der Geraden, so nimmt die Geradengleichung die Form
nx
= nP
oder
n(x
- P) = 0
an. Diese Darstellung ist für viele Zwecke nützlich.
Siehe auch Abstand Punkt - Gerade.
- Normierung eines Vektors
- Ist
a ein beliebiger, vom
Nullvektor verschiedener Vektor, so ist
a/|a|
ein zu a
paralleler Einheitsvektor.
Den Übergang von a zu
a/|a|
nennen wir Normierung, und wir sagen, dass
"der Vektor a normiert wird".
- Normierung von Wahrscheinlichkeiten
- oder
Normierungsbedingung: Die Summe der Wahrscheinlichkeiten der Versuchsausgänge eines
diskreten Zufallsexperiments ist gleich 1.
- Nullstelle
- einer Funktion ist ein Wert der unabhängigen Variablen,
deren zugehöriger Funktionswert Null ist.
(Anders ausgedrückt: "eine Stelle, an der die Funktion Null ist").
In Formeln: Ist
f
(x) = 0,
so ist x eine Nullstelle der Funktion
f.
Nullstellen sind genau jene x-Werte, für die
der Graph die x-Achse
schneidet (oder berührt).
Das Ermitteln der Nullstellen einer gegebenen Funktion ist gleichbedeutend damit,
die Gleichung
f
(x) = 0 nach der
Unbekannten x zu lösen. Umgekehrt kann jede
Gleichung (in einer einzigen Variablen) in die Form
f
(x) = 0 gebracht werden, wodurch die Worte
"Gleichung lösen" und "Nullstellen ermitteln" effektiv dasselbe bedeuten.
Siehe auch numerisches Lösen einer Gleichung und
Ordnung einer Nullstelle.
- Nullvektor
- Ist jener Vektor, dessen Komponenten alle
0 sind. Er wird mit dem Symbol
0 bezeichnet.
Beim Rechnen mit Vektoren spielt er die Rolle der Null. So gilt beispielsweise
a + 0 = a.
In der geometrischen Deutung stellt er den Verbindungsvektor eines Punktes mit sich selbst,
als Ortsvektor interpretiert, stellt er den Ursprung dar.
- Numerisches Lösen einer Gleichung
- Nicht jede Gleichung lässt sich
durch eine einfache Rechnung lösen. Manchmal muß man sich mit einer
näherungsweisen ("numerischen", "approximativen") Lösung zufrieden geben.
Da jede Gleichung (in einer Variablen)
in die Form f (x)
= 0 gebracht werden kann (wobei
f eine Funktion ist),
ist das Problem, sie zu lösen, gleichbedeutend damit, die Nullstellen der Funktion
f zu finden. Dafür stehen etliche
näherungsweise Methoden zur Verfügung. Geometrisch betrachtet, besteht
das Problem darin, die Schnittpunkte des Graphen
von f mit
der x-Achse zu ermitteln.
Der praktischste und einfachste Weg, dies zu tun, besteht darin, die Zoom-Funktion eines
Funktionsplotters zu benützen, um die
x-Koordinaten der Schnittpunkte
mit vernünftiger Genauigkeit abzulesen (graphisches Lösen einer Gleichung).
Unter numerischen Techniken im eigentlichen Sinn versteht man (computerunterstützte)
Algorithmen, die sich (in der Regel rekursiv)
zu immer höherer Genauigkeit der Lösung hinaufarbeiten.
Beispiele sind die
Bisektionsmethode und das
Newton-Verfahren.
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