Von Termen, Klammern und Brüchen

Lernpfad erstellt und betreut von:

Franz Embacher

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Übersicht:       
Hilfe
1. Prolog: Wo Terme herkommen
2. Über Terme sprechen
3. Klammern und wozu man sie braucht
4. Termumformungen mit Klammern
5. Brüche und was sie bedeuten
6. Termumformungen mit Brüchen
7. Weitere Ressourcen

Termumformungen mit Brüchen
 
6.1 Kürzen und Erweitern
Die Regeln für das Umformen von Bruchtermen ergeben sich unmittelbar aus jenen für das Dividieren. Insbesondere gilt:
 
 a 
b
    c 
d
   =     ac 
bd

Dabei stehen a, b, c und d für Zahlen oder für Terme (wobei die Nenner b und d natürlich  0 sein müssen). Ist a = b, so ergibt sich daraus mit a/a = 1 die Regel für das Kürzen (bzw. umgekehrt für das Erweitern):
 
 ac 
ad
   =     c 
d

In Worten: Ein gemeinsamer Faktor von Zähler und Nenner, sofern er  0 ist, kann weggelassen werden. Da gerade beim Kürzen und Erweitern viele Fehler gemacht werden, versuchen Sie bitte, diese Regel zu möglichst genau verstehen und sie sich zu merken!
Theorie
 
6.2 Bruchterme kürzen
http://www.mathe-online.at/tests/var/kuerzen.html

Üben Sie das Kürzen von Bruchtermen in diesem interaktiven Test! Beachten Sie: Um die richtigen Antworten zu finden, sind unter Umständen kleinere Termumformungen in Zähler und Nenner nötig.
Multiple Choice Test
 
6.3 Falsch gekürzt
http://www.mathe-online.at/tests/var/kuerzenfehler.html

Analysieren Sie einen Fehler, den jemand beim Kürzen begangen hat! Nachdem Sie Ihre Wahl getroffen haben, klicken Sie auf das Bild!
Interaktiver Test - Fehler erkennen
 
6.4 Die Sache mit dem "gemeinsamen Nenner"
Will man aus irgend einem Grund die Summe (oder Differenz) zweier Brüche zu einem einzigen Bruch umformen, so kann das durch geeignetes Erweitern erzielt werden. Sehen Sie sich dieses Beispiel an:
 
 (a + 3)2
a(a 1)
      (b 3)4
4a
   =     4(a + 3)2
4a(a 1)
      (a 1)(b 3)4
4a(a 1)
   =   
   =     4(a + 3)2 (a 1)(b 3)4
4a(a 1)

Der Trick ist, die beiden Brüche zuerst "auf gemeinsamen Nenner" zu bringen danach lassen sich die Brüche addieren (oder subtrahieren), indem einfach die Zähler addiert (oder subtrahiert) werden. Manchmal ist es danach noch möglich bzw. sinnvoll, den Zähler des Ergebnisses weiter zu vereinfachen.
Aufgaben:
  1. Vollziehen Sie die Umformungen der obigen Rechnung im Detail nach! Womit wurden die beiden Brüche des Ausgangsterms erweitert und warum gerade so?
  2. Gehen Sie analog vor, um
     
     (a + 3)2
    a(a 1)
          2(b 3)4
    3(a 1)

    zu einem einzigen Bruch umzuformen!
  3. Versuchen Sie, das Prinzip, das hinter dieser Vorgangsweise steht, verbal zu formulieren!
Wenn Sie die Grundidee verstanden haben, sollte Ihnen das Rechnen mit Bruchtermen keine allzu großen Schwierigkeiten mehr machen!
 
6.5 Mehrfachbrüche
Sollten Sie einmal auf ineinandergeschachtelte Brüche stoßen, so lassen Sie sich davon nicht abschrecken! Durch einfaches Erweitern können Sie Brüche von Brüchen vereinfachen. Erweitern Sie den Doppelbruch
 
        a 
b
    

 c 
d

mit dem Produkt bd, um zu beweisen, dass er gleich
 
 a
 b

ist! Wieder ist es wichtiger, die Idee hinter dieser Vorgangsweise zu verstehen, als sich eine Formel auswendig zu merken!
 
6.6 Flugreise bei Wind
Wozu brauchen wir eigentlich Bruchterme? Anstatt einer langen Antwort führen wir zum Abschluss dieses Kapitels noch ein Beispiel vor, in dem ein Bruchterm auftritt und ein Problem durch eine Termumformung gelöst wird:

Ein Flugzeug fliegt von Wien nach Paris und sogleich wieder nach Wien zurück. Falls Windstille herrscht, legt es beide Routen mit der gleichen Geschwindigkeit zurück. Falls Wind aus dem Westen weht, muss das Flugzeug beim Hinflug dagegen ankämpfen, ist aber dafür beim Rückflug schneller. (Wir nehmen an, dass die Wirkung des Windes darin besteht, dass die Windgeschwindigkeit zur "Flugzeuggeschwindigkeit bei Windstille" addiert bzw. von ihr subtrahiert wird). Frage: Dauert die gesamte Reise bei Wind kürzer, länger oder gleich lang wir bei Windstille?

Sei L die Entfernung zwischen Wien und Paris, v die Geschwindigkeit des Flugzeugs bei Windstille und w die Windgeschwindigkeit. Die Geschwindigkeit beim Hinflug ist v w (wir nehmen natürlich an, dass w < v ist), jene beim Rückflug ist v + w. Dann ist die für Hin- und Rückflug benötigte Gesamtzeit durch die Formel
 
 L
 v
  +    L
 v +

gegeben. (Dabei wird das physikalische Gesetz "benötigte Zeit = zurückgelegter Weg dividiert durch Geschwindigkeit" für Hin- und Rückflug getrennt angewandt und danach die beiden Zeiten addiert). Können wir diesem Bruchterm die Antwort auf die gestellte Frage entnehmen?
  • Bei Windstille ist w = 0. In diesem Fall reduziert sich unsere Formel auf 2L/v.
  • Ist die Windgeschwindigkeit fast so groß wie die Reisegeschwindigkeit bei Windstelle, d.h. ist w fast so groß wie v, dann ist die Differenz v w sehr klein, und entsprechend ist der erste Bruch sehr groß! Zumindest in diesem Fall dauert die Reise bei Wind länger.
  • Um die Situation allgemeiner zu analysieren, formen Sie den obigen Term zu einem einzigen Bruch um (bringen sie die beiden Brücher dazu "auf gleichen Nenner") und multiplizieren Sie die Klammern im Nenner, den Sie erhalten, aus! Als Ergebnis dieser kleinen Rechnung sollten Sie
     
     2Lv
     v2 w2 

    erhalten.
  • Sehen Sie diesem Term (ohne weitere Rechnung) an, dass die Reise immer, wenn Wind geht, länger dauert als bei Windstille? Tipp: Wie verhält sich der Wert des Terms, wenn w verkleinert oder vergrößert wird?
Diesem Beispiel können Sie entnehmen: Bruchterme treten immer dann auf, wenn eine Größe durch eine oder mehrere Divisionen zustande kommt, man sich aber auf die konkreten Zahlen, durch die dividiert wird, (noch) nicht festlegen möchte. Das ist in zahlreichen Fragen der Wissenschaft, Technik und Wirtschaft der Fall.
Anwendungsbeispiel
 
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