Von Termen, Klammern und Brüchen

Lernpfad erstellt und betreut von:

Franz Embacher

E-mail: franz.embacher@univie.ac.at
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Übersicht:       
Hilfe
1. Prolog: Wo Terme herkommen
2. Über Terme sprechen
3. Klammern und wozu man sie braucht
4. Termumformungen mit Klammern
5. Brüche und was sie bedeuten
6. Termumformungen mit Brüchen
7. Weitere Ressourcen

Über Terme sprechen
 
2.1 Kochrezept für einen Term
Ein Term kann als Anweisung zur Berechnung einer Zahl verstanden werden. Dabei stellt man sich vor, dass die im Term vorkommenden Variablen konkrete Zahlenwerte annehmen, die aber in der Anweisung zunächst unbestimmt gelassen werden.

Eine solche Anweisung kann durchaus in Worten formuliert werden. Beispielsweise kann der Term (x + 1)2 + 3x in Form eines Kochrezepts so beschrieben werden:
  • Nimm die Zahl x, addiere 1 und quadriere das Resultat.
  • Dazu addiere das Dreifache von x.
Oder so:
  • Nimm die Zahl x, addiere 1, multipliziere das Resultat mit sich selbst und bezeichne die so erhaltene Zahl mit y.
  • Addiere zu y das Dreifache von x.
Formulieren Sie Kochrezepte zur Berechnung der Terme
  1. (2x + 1)2 4z
  2. x + u2 + x3
  3. (b + 1)(b 1)
und schreiben Sie sie auf! Falls Sie in einer Klasse oder in einem Kurs lernen: Vergleichen Sie Ihre Kochrezepte mit jenen, die Ihre KollegInnen formuliert haben!
 
2.2 Kochrezepte und Klammern
Charakterisieren Sie jeden der beiden folgenden Terme durch ein Kochrezept:
  1. a (b + 1)
  2. a b + 1
Wenden Sie die von Ihnen formulierten Kochrezepte für a = 4 und b = 2 an! (Die Anweisungen eines Terms auf konkrete Zahlen anwenden nennen wir auch "den Term auswerten"). Sie sollten zwei verschiedene Ergebnisse erhalten. Wodurch unterscheiden sich die Terme bzw. die Kochrezepte?
 
2.3 Den Term zu einem Kochrezept finden
Wichtig bei der Beschreibung eines Terms in Worten ist, dass sie möglichst genau ist. Verschiedene Personen sollten in der Lage sein, aus einer verbalen Beschreibung auf den gleichen Term zu schließen (wobei wir zwei Terme, die sich nur in der Reihenfolge von Additionen und Multiplikationen oder in der Schreibweise von Divisionen unterscheiden, als gleich betrachten, also etwa zwischen a + b und b + a, zwischen 2a und a·2 oder zwischen a/2 und (1/2)a nicht unterscheiden). Welcher Term wird vom folgenden Kochrezept beschrieben?
  • Addiere die Zahl a zu 1, bilde die dritte Potenz und bezeichne das Resultat mit A.
  • Multipliziere A mit 7.
  • Addiere 5.
  • Bilde die Hälfte.
Vergleichen Sie Ihr Resultat mit denen Ihrer KollegInnen!
 
2.4 Noch einen Term zu einem Kochrezept finden
Welcher Term wird vom folgenden Kochrezept beschrieben?
  • Addiere die Zahl a zu 1, bilde die dritte Potenz und bezeichne das Resultat mit A.
  • Addiere 5 zu A.
  • Multipliziere mit 7.
  • Bilde die Hälfte.
Unterscheidet er sich von dem in der vorigen Aufgabe beschriebenen Term?
 
2.5 Wahr oder falsch?
Ist die Aussage "Das Quadrat der Differenz zweier Zahlen ist gleich der Differenz aus der Summe der Quadrate der beiden Zahlen und dem Doppelten des Produkts der beiden Zahlen" wahr oder falsch? Übersetzen Sie dieses Problem in die mathematische Sprache der Terme!
 
2.6 Eine wichtige Rechenregel
Formulieren Sie das so genannte Distributivgesetz a(b + c) = ab + ac in Worten!
 
2.7 Struktur von Termen
Mathematik besteht nicht nur aus Formeln. Oft werden Wörter dazu benutzt, um (noch bevor irgendwelche Rechenoperationen angewandt werden) über die Struktur von Termen zu sprechen. Beantworten Sie die folgenden Fragen:
  • Kann der Term (u + 2)2 + (v 2)2 als Summe von Quadraten oder als Quadrat einer Summe angesehen werden?
  • Kann man sagen, dass der Term (x + 2(a + b)(a + b)) (x 2ab) ein Produkt ist? Falls ja, aus wie vielen und aus welchen Faktoren besteht er?
  • Kann man sagen, dass der Term x/2 ein Produkt ist? Falls ja, aus wie vielen und aus welchen Faktoren besteht er?
  • Kann man sagen, dass der Term x2 ein Produkt ist? Falls ja, aus wie vielen und aus welchen Faktoren besteht er?
  • Kann man sagen, dass der Term 4(1 + x + x2) + 5 eine Summe ist? Falls ja, welches sind seine Summanden?
Wenn Sie sich mit den Antworten schwer tun, können Ihnen die folgenden Kapitel dieses Lernpfads vielleicht etwas mitgeben...
 
2.8 Strukturen erkennen 2 (Formale Eigenschaften von Termen)
http://www.mathe-online.at/mathint/var/applet_b_struk2.html

Ordnen Sie jedem Term seine verbale Beschreibung zu!
Puzzle
 
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