Von Termen, Klammern und Brüchen

Lernpfad erstellt und betreut von:

Franz Embacher

E-mail: franz.embacher@univie.ac.at
Homepage: http://homepage.univie.ac.at/franz.embacher/
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Übersicht:       
Hilfe
1. Prolog: Wo Terme herkommen
2. Über Terme sprechen
3. Klammern und wozu man sie braucht
4. Termumformungen mit Klammern
5. Brüche und was sie bedeuten
6. Termumformungen mit Brüchen
7. Weitere Ressourcen

Klammern und wozu man sie braucht
 
3.1 Auswertung eines Terms mit Klammern
http://www.mathe-online.at/materialien/Franz.Embacher/files/
   termAuswerten/termAuswerten.html

Dieser Link führt auf eine interaktive Flash-Animation, in der Sie die Rechenoperationen beim Auswerten eines Terms selbst steuern. Dabei sollen die Klammern "von innen angearbeitet" werden.
  • Spielen Sie die Lernhilfe ein paar Mal mit verschiedenen (positiven und negativen) Zahlen Ihrer Wahl durch.
  • Wenn Sie damit vertraut sind, versuchen Sie, die Zahlen, die bei jedem Klick erscheinen werden, im Voraus anzugeben!
Beachten Sie, wie die Zahl der Klammern im Zuge der Berechnung immer kleiner wird, bis zuletzt keine einzige Klammer mehr übrig ist.
Interaktive Lernhilfe
 
3.2 Wozu Klammern?
Schreiben Sie auf, welche Kriterien Sie bei der vorigen Aufgabe benutzt haben, um die erlaubten Rechenoperationen herauszufinden!
 
3.3 Klammer oder nicht Klammer
Wozu braucht man Klammern?
  • Der Term a + (b + 3) darf auch ohne Klammern als a + b + 3 geschrieben werden.
  • Der Term a (b + 3) darf nicht als a b + 3 geschrieben werden!
Überprüfen Sie diese beiden Behauptungen mit konkreten Zahlenwerten Ihrer Wahl! Welche der in den Termen
  1. (a + b) (c + 3)
  2. (a + b)(c + 3)
  3. (a + b)2 + (c + 3)
auftretenden Klammern dürfen weggelassen werden?
 
3.4 Abkürzungen
Jeder Teil eines Terms, der in einer Klammer steht, kann als abgeschlossene Untereinheit verstanden werden. Um sich das klar zu machen, ist es nützlich, diesen Untereinheiten eigene Namen (Abkürzungen) zu geben.
Beispiel: Der Term 6x + 3(u + 2)2 (2u 1) kann geschrieben werden als 6x + 3A2 B, wobei die Abkürzungen
  • A = u + 2
  • B = 2u 1
verwendet wurden. Machen Sie sich klar, dass im Ausdruck 6x + 3A2 B keine Klammern geschrieben werden müssen, im ursprünglichen Term aber schon! Schreiben Sie die Terme
  1. (5x2 1)3 (x + a2)3 + 1
  2. 4(b a)(a2 + b)
  3. (1 + x)(1 + 2x)(1 + 3x)
in analoger Weise an!
 
3.5 Ein Fehler
Jemand argumentiert so: Wenn die Abkürzung A = x2 + a in den Term A2 3x eingesetzt wird, so kommt heraus:

x2 + a2 3x.

Überprüfen Sie anhand der Zahlenwerte x = 1 und a = 1, dass das nicht stimmen kann! Welcher Fehler wurde gemacht? Wie lautet das korrekte Resultat?
 
3.6 Strukturen erkennen 1 (Abkürzungen verwenden)
http://www.mathe-online.at/mathint/var/applet_b_struk1.html

Eine Übung, um Ihren Blick für Abkürzungen zu schärfen!
Puzzle
 
3.7 Von innen oder von außen?
Fassen wir das über den Umgang mit Klammern bisher Gelernte in zwei grobe Faustregeln zusammen:
  • Zum Berechnen (Auswerten) eines Terms werden die Klammern von innen her abgearbeitet.
    Beispiel: Mit x = 1, y = 2 und z = 3 ist
    (x (y + z)3 + 1)2 (x + (y z)3 1)2 = (1 (2 + 3)3 + 1)2 (1 + (2 3)3 1)2 = (1 53 + 1)2 (1 + (1)3 1)2 = (1 125 + 1)2 (1 1 1)2 = ( 123)2 (1)2 = 15129 1 = 15128.
     
  • Um die Struktur eines Terms zu erfassen und Eigenschaften zu erkennen, ist es oft nützlich, von außen her kommend alles, was in einer Klammer steht, als abgeschlossene Untereinheit anzusehen, von deren innerer Struktur zunächst abgesehen wird.
    Beispiel: (x (y + z)3 + 1)2 (x + (y z)3 1)2 = etwas2 (etwas anderes)2 = Differenz zweier Quadrate.
Zusätzlich kann es sinnvoll sein, einen Term umzuformen, um seine Struktur zu vereinfachen. Damit beschäftigen wir uns im nächsten Kapitel.
Zusammenfassung
 
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