Von Termen, Klammern und Brüchen

Lernpfad erstellt und betreut von:

Franz Embacher

E-mail: franz.embacher@univie.ac.at
Homepage: http://homepage.univie.ac.at/franz.embacher/
Steckbrief
Kurs-Informationen
Ansicht mit Navigations-Frame
Lernpfadseite als User öffnen (Login)
Lernpfadseite bearbeiten (Autor)

Übersicht:       
Hilfe
1. Prolog: Wo Terme herkommen
2. Über Terme sprechen
3. Klammern und wozu man sie braucht
4. Termumformungen mit Klammern
5. Brüche und was sie bedeuten
6. Termumformungen mit Brüchen
7. Weitere Ressourcen

Prolog: Wo Terme herkommen
 
1.1 Vorwort
In diesem einleitenden Kapitel wollen wir anhand eines Beispiels besprechen, wo Terme herkommen, welchem Zweck sie dienen und was Variable sind. Es enthält keine Aufgaben, sondern einfach ein bisschen Lesestoff für Sie. Wenn Sie mit diesen Fragen bereits vertraut sind, dann überspringen Sie es einfach.
 
1.2 Farben und Flächen
Ein Maler-und-Anstreicher-Unternehmen muss für jeden Kundenauftrag im Voraus die dafür nötige Menge an Farbe ermitteln. Um das tun zu können, muss die Größe der auszumalenden Fläche bekannt sein. Das Unternehmen bekommt von jedem Kunden und für jeden Raum folgende Informationen:
  • Länge, Breite und Höhe des Raumes
  • Anzahl, Breite und Höhe der Fenster
  • Anzahl, Breite und Höhe der Türen
Die auszumalende Fläche soll nun per Knopfdruck durch ein Computerprogramm ermittelt werden. Mit welchen Informationen müssen wir "den Computer füttern", damit er diese Aufgabe übernehmen kann? Dazu müssen wir die gesuchte Fläche zuerst allgemein berechnen, d.h. ohne die konkreten Zahlenwerte des Kunden zu kennen. Um dies tun zu können, müssen wir zunächst den einzelnen Größen eigene Namen (Symbole) zuordnen. Wir wählen folgende:
 
Objekt Symbol
Raum Länge a
Breite b
Höhe h
Fenster Anzahl m
Breite p
Höhe q
Türen Anzahl n
Breite r
Höhe s

Die gesuchte Fläche kann nun durch diese Größen ausgedrückt werden:
  • Die vier Wände entsprechen einem Rechteck mit Seitenlängen 2a + 2b (= Umfang der Grundfläche) und h (= Höhe). Sie haben daher zusammen die Fläche (2a + 2b)h.
  • Der Plafonds hat die Fläche ab, die noch hinzugezählt werden muss.
  • Da Fenster und Türen nicht angestrichen werden, muss noch deren Fläche abgezogen werden.
  • Jedes Fenster hat eine Fläche pq. Daher haben m Fenster eine m-mal so große Fläche, d.h. mpq.
  • Jede Türe hat eine Fläche rs. Daher haben n Türen eine n-mal so große Fläche, d.h. nrs.
Auf diese Weise ergibt sich die gesuchte Fläche zu

(2a + 2b)h + ab mpq nrs.

Es handelt sich hier um einen Term, der von den neun Symbolen (Variablen) a, b, h, m, p, q, n, r und s abhängt. Ihre Zahlenwerte mussten bei der Ermittlung des Terms nicht bekannt sein. Auch wenn der Term "in den Computer gefüttert" wird, müssen noch keine Zahlenwerte angegeben werden sie sollen sogar unbestimmt bleiben! Erst die zukünftigen Kunden werden die für ihre jeweiligen Räumlichkeiten geltenden Werte angeben. Dann allerdings zeigt sich der Vorteil unserer Vorgangsweise: Es muss nicht für jeden Kunden eine eigene Berechnung der obigen Art angestellt werden, sondern die Zahlen werden einfach in den Term eingesetzt (bzw. in den PC eingetippt).
Hat beispielsweise ein Kunde ein Zimmer mit den Abmessungen
 
Objekt Wert
Raum Länge 8 Meter
Breite 6 Meter
Höhe 3.5 Meter
Fenster Anzahl 2
Breite 1.5 Meter
Höhe 1.7 Meter
Türen Anzahl 1
Breite 1.3 Meter
Höhe 2.5 Meter

d.h. (unter Weglassung der Einheiten) a = 8, b = 6 usw., so soll das Programm die Berechnung

(2 · 8 + 2 · 6) · 3.5 + 8 · 6 2 · 1.5 · 1.7 1 · 1.3 · 2.5  = 137.65

durchführen. Sinnvoll gerundet, wird dem Kunden in diesem Beispiel Farbe für 138 Quadratmeter verrechnet.
So betrachtet, ist ein Term nichts anderes als eine Anweisung zur Berechnung einer Zahl aus gewissen anderen, als gegeben betrachteten (aber vorerst unbestimmt gehaltenen) Zahlen, den Variablen.
 
1.3 Eine kleine Verbesserung
Betrachten wir unseren Flächenterm noch einmal genauer. Er enthält den Ausdruck (2a + 2b)h. Statt dessen können wir genausogut 2(a + b)h schreiben. (Warum? Versuchen Sie, das zu begründen!) Die auszumalende Fläche lässt sich daher auch durch den Term

2(a + b)h + ab mpq nrs

beschreiben. Er unterscheidet sich zwar geringfügig vom ersten (ist in mancher Hinsicht "einfacher", da nur einmal mit 2 multipliziert werden muss), liefert aber für alle konkreten Zahlenangaben für die Variablen denselben Wert. Mathematisch gesehen haben wir eine Termumformung durchgeführt.
 
1.4 Eine kleine Erweiterung
Weil alles so gut klappt, wollen wir unser Programm noch "intelligenter" machen: Wieviele Farbeimer muss der Mitarbeiter, der die Arbeit erledigt, mitnehmen? Wir wollen, dass der PC das auch gleich berechnet. Wenn ein Farbeimer für eine Fläche k ausgelegt ist (der genaue Wert von k hängt von der verwendeten Farbe ab und steht auf der Packung), so zeigt eine einfache Schlussrechnung, dass
 
 2(a + b)h + ab mpq nr
 k 

Farbeimer mitgenommen werden müssen. (Falls dieser Wert nicht ganzzahlig ist, muss er natürlich aufgerundet werden, damit genug Farbe zur Verfügung steht). Auch diesen Term können wir "in den Computer füttern". Sinnvoller aber ist es, die anzustreichende Fläche nur einmal zu berechnen, also den Vorgang so zu programmieren:
  1. Berechne die Fläche

    A   =   2(a + b)h + ab mpq nrs.

  2. Damit berechne die Zahl der nötigen Farbeimer
     A 
     k 
      .
    Gegebenenfalls runde auf die nächsthöhere ganze Zahl.
Hier haben wir eine wichtige Technik benutzt: die Verwendung von Abkürzungen für Terme.
 
1.5 Nachwort
Wie wir sehen, treten Terme ganz zwanglos bei der Formulierung quantitativer Zusammenhänge auf. Auch zwei wichtige Elemente der Schreibweise von Termen (um die es in diesem Lernpfad ganz besonders gehen soll) haben wir bereits verwendet: Klammern und Bruchstriche. Wir wollen in den folgenden Kapiteln einige grundsätzliche Fragen behandeln (bzw. Sie daran erinnern) und uns dabei nicht in jedem Fall fragen, woher die zu Beispielzwecken verwendeten Terme stammen. Stellen Sie sich, wenn irgendein Term angegeben ist, einfach vor, dass er aus irgendeiner praktisch relevanten Situation hervorgeht. Hätten wir die Geschichte mit den Farben und Flächen nicht erzählt, so hätten Sie natürlich nicht recht gewusst, welche Bewandtnis es mit dem Term

2(a + b)h + ab mpq nrs

hat. Er enthält viele verschiedene Symbole, hat aber eine einfache Bedeutung. Lassen Sie sich von Termen, deren Herkunft Ihnen nicht bekannt ist, nicht abschrecken! Versuchen Sie einfach, sie als Anweisungen für Rechenschritte anzusehen, deren Geschichte der Kürze halber nicht erzählt wird.
 
Lernpfadseite als User öffnen (Login)

Falls Sie noch kein registrierter User sind, können Sie sich einen neuen Zugang anlegen. Als registrierter User können Sie ein persönliches Lerntagebuch zu diesem Lernpfad anlegen.

 Zur Galerie
 Zu den Mathematischen Hintergründen
 Zum Lexikon
 Zu den interaktiven Tests
 Zu den Mathe-Links und Online-Werkzeugen
 Zur Welcome Page
   Übersicht über die Lernpfade
 Open Studio Materialien
 Open Studio Eingang
 Neuen Zugang anlegen
 Login