Von Termen, Klammern und Brüchen

Lernpfad erstellt und betreut von:

Franz Embacher

E-mail: franz.embacher@univie.ac.at
Homepage: http://homepage.univie.ac.at/franz.embacher/
Steckbrief
Kurs-Informationen
Ansicht mit Navigations-Frame
Lernpfadseite als User öffnen (Login)
Lernpfadseite bearbeiten (Autor)

Übersicht:       
Hilfe
1. Prolog: Wo Terme herkommen
2. Über Terme sprechen
3. Klammern und wozu man sie braucht
4. Termumformungen mit Klammern
5. Brüche und was sie bedeuten
6. Termumformungen mit Brüchen
7. Weitere Ressourcen

Brüche und was sie bedeuten
 
5.1 Bruch als Division
Ein Bruch zweier Zahlen bezeichnet einfach eine Division.
 2 
5

was auch in der Form 2/5 angeschrieben werden kann, ist nichts anderes als "2 dividiert durch 5" oder 2:5 oder, in der Dezimaldarstellung geschrieben, 0.4. Letzten Endes ist ein Bruch zweier Zahlen wieder eine Zahl. Ein Bruch zweier Terme ist als Anweisung zur Division zu betrachten. Dabei ist lediglich zu bedenken, dass die Division durch 0 nicht definiert ist, d.h. dass der Nenner eines Bruchs immer  0 sein muss.
Wiederholung
 
5.2 Auswertung eines Terms mit Brüchen
http://www.mathe-online.at/materialien/Franz.Embacher/files/
   termAuswerten2/termAuswerten2.html

Dieser Link führt auf eine interaktive Flash-Animation, in der Sie die Rechenoperationen beim Auswerten eines Terms, der Brüche enthält, selbst steuern.
  • Spielen Sie die Lernhilfe ein paar Mal mit verschiedenen (positiven und negativen) Zahlen Ihrer Wahl durch.
  • Wenn Sie damit vertraut sind, versuchen Sie, die Zahlen, die bei jedem Klick erscheinen werden (zumindest ihre Größenordnung und ihr Vorzeichen), im Voraus anzugeben!
Überlegen Sie, welche Kriterien Sie bei diesem Spiel benutzen, um die erlaubten Rechenoperationen herauszufinden!
 
5.3 Die Sache mit dem Nenner
Zwei wichtige Fragen, die wir (noch bevor irgendeine Termumformung durchgeführt wird) an einen Bruchterm stellen können, sind:
  • Welche Nenner treten auf?
    Werden die Zahlenwerte für die Variablen so gewählt, dass ein Nenner 0 ist, so ist der ganze Term nicht definiert. Daraus ergibt sich die zweite Frage:
  • Für welche Variablenwerte wird ein Nenner 0?
    (Sie ist manchmal leicht, manchmal schwer zu beantworten).
Beantworten Sie diese beiden Fragen für jeden der folgenden Bruchterme:
  1.  
     u + 3
    v 2
  2.  
     (a + 3)2
     4(a 7) 
          2(b 3)4
    a
  3.  
       1 +    y + 4
    x 2
        

     x + 3
    x + 5
Dazu sind keine Berechnungen nötig. Versuchen Sie, das für die beiden Fragen Wesentliche mit einem Blick zu erfassen!
 
5.4 Wenn Brüche Brüche enthalten
Da ein Bruch nichts anderes als eine Division ist, stellt ein Mehrfachbruch eine Anweisung dar, mehrere Divisionen in einer bestimmten Reihenfolge auszuführen. Um das anhand eines Beispiels ganz direkt zu sehen, berechnen Sie den Wert des Terms
 
x + 4
x + 2
       x 4
x 2

 x + 3 
x + 5

für x = 1! Benutzen Sie dabei ein Rechenwerkzeug Ihrer Wahl. In die meisten elektronischen Rechner, wie zum Beispiel den mathe online Mini-Rechner, können Sie die Anweisung

((1+4)/(1+2)-(1-4)/(1-2))/((1+3)/(1+5))

eingeben! Versuchen Sie, die Klammersetzung zu verstehen!
 
Lernpfadseite als User öffnen (Login)

Falls Sie noch kein registrierter User sind, können Sie sich einen neuen Zugang anlegen. Als registrierter User können Sie ein persönliches Lerntagebuch zu diesem Lernpfad anlegen.

 Zur Galerie
 Zu den Mathematischen Hintergründen
 Zum Lexikon
 Zu den interaktiven Tests
 Zu den Mathe-Links und Online-Werkzeugen
 Zur Welcome Page
   Übersicht über die Lernpfade
 Open Studio Materialien
 Open Studio Eingang
 Neuen Zugang anlegen
 Login