- e
- ist das Symbol für die berühmte Eulersche Zahl.
Sie ist die einzige positive Zahl, für die
ex
³
1 + x
für alle x Î R
gilt. Wie p ist sie eine irrationale Zahl, und ihre Dezimaldarstellung
beginnt mit e = 2.718281828459...
Sie kann als Grenzwert der Zahlenfolge
(1+ 1/n)n für über jede Schranke wachsendes
n berechnet werden und wird manchmal
über die Zinseszinsrechnung eingeführt.
Wird sie als Basis einer Potenz
verwendet, so ergibt sich ein besonders einfaches Verhalten für kleine
Exponenten:
ex
»
1 + x für kleine x
(während für andere Basen
ax
»
1 + cx gilt, wobei c
eine Konstante ¹ 1 ist, deren Wert von
a abhängt).
Aufgrund dieser bedeutsamen Eigenschaft wird e
oft als natürliche Basis für
die Formulierung von
Exponentialfunktionen,
exponentiellen Prozessen und Logarithmen
verwendet. Siehe auch exp, natürlicher Logarithmus
und Umrechnen von Basen für Potenzen und Logarithmen.
Lesen Sie einen kleinen
zur Zahl e.
- Ebene
- Eines der wichtigsten Objekte der Geometrie des
dreidimensionalen Raumes. In der analytischen Geometrie
wird eine Ebenen meist durch eine Ebenengleichung,
manchmal auch durch eine Parameterdarstellung
beschrieben.
Siehe auch Lagebeziehungen von Ebenen und
Lagebeziehungen von Ebenen und Geraden.
- Ebenengleichung
- Jede Ebene im dreidimensionalen Raum
kann als Lösungsmenge einer linearen Gleichung der Form
px + qy + rz = c
beschrieben werden, wobei p, q, r
und c Konstante sind und zumindest einer der Koeffizienten
p, q und r
von 0 verschieden ist.
p und q und r
sind die Komponenten eines Normalvektors der Ebene.
Wird die Ebenengleichung durch Vektoren ausgedrückt,
so wird sie Normalvektorform genannt.
Ebenengleichungen sind nicht eindeutig, d.h. eine Ebene besitzt (unendlich) viele
derartige Darstellungen, die alle Vielfache voneinander sind.
- Ebene Polarkoordinaten
- Siehe Polarkoordinaten.
- Ebene Trigonometrie
- Siehe Trigonometrie.
- Echte Teilmenge
- Ist die
Menge B eine Teilmenge
der Menge A
(B Í A) und sind beide Mengen voneinander
verschieden (B ¹
A), so heißt
B echte Teilmenge
von A.
Es gibt dann - zumindest - ein Element von
B, das nicht Element von
A ist.
- Einander ausschließende Ereignisse
- Siehe disjunkte Ereignisse.
- Eineindeutig
- wird manchmal für bijektiv,
manchmal auch für injektiv verwendet und sollte
aufgrund dieser Mehrdeutigkeit vermieden werden.
- Einheiten
- sind Kennzeichnungen für manche Größen,
die man sich am besten als "Maßeinheiten" wie Meter, Zentimeter und Millimeter
vorstellt. Größen, die Einheiten tragen, werden als dimensionsbehaftet
bezeichnet (z.B. Länge, Zeit, Geschwindigkeit, Energie,...).
Dimensionslose Größen hingegen tragen keine Einheiten. Sie
sind schlicht und einfach Zahlen, die sich nicht auf ein "Maßsystem" beziehen.
Ist klar festgelegt, welche Einheiten für die in einer Rechnung
vorkommenden Größen verwendet werden,
können sie wieder unter den Teppich gekehrt werden.
Aber Vorsicht: Treten verschiedene Einheiten auf, so muß umgerechnet werden!
Beispiel: Ein Fahrzeug legt eine Distanz von 40 km in einer Zeit von
2 Stunden zurück. Berechnen Sie seine Geschwindigkeit in m/s (Meter pro Sekunde)!
- Einheitsvektor
- ist ein Vektor, dessen Betrag
gleich 1 ist.
Siehe auch Normierung eines Vektors.
- Eins-zu-eins-Zuordnung
- Siehe bijektiv.
- Element
- Eine Menge ist eine Zusammenfassung wohldefinierter Objekte.
Diese Objekte heißen Elemente.
Ist x ein Element der Menge A, so schreibt man
x
Î A
und sagt "x ist enthalten in"
oder "liegt in" der Menge A.
Sprachliche Kurzformen:
"x Element A" oder
"x aus A".
- Elementarereignis
- Ein Elementarereignis eines Zufallsexperiments
ist ein Versuchsausgang. Die Menge aller Elementarereignisse
ist der Ereignisraum. Der Begriff des Elementarereignisses
ist von jenem des Ereignisses zu unterscheiden!
- Endliche Menge
- ist eine Menge, die endlich viele Elemente erhält
(im Gegensatz zu einer unendlichen Menge).
- Eratosthenes, Sieb des
- Siehe Sieb des Eratosthenes.
- Ereignis
- Ein Ereignis eines Zufallsexperiments
(mit endlich oder abzählbar vielen Versuchsausgängen)
ist eine Teilmenge des Ereignisraums. Die
Versuchsausgänge (Elementarereignisse) sind Ereignisse, nämlich die ein-elementigen Teilmengen des Ereignisraums,
aber darüber hinaus gibt es auch andere Ereignisse.
Als Menge (Zusammenfassung) von Versuchsausgängen kann ein Ereignis in der Regel auch verbal durch eine
Aussage beschrieben werden.
Beispiel: Beim Würfeln sind sie Versuchsausgänge die Augenzahlen 1 bis 6.
Der Ereignisraum ist die Menge {1, 2, 3, 4, 5, 6}. Ein
Ereignis ist beispielsweise "die Augenzahl ist gerade", repräsentiert durch die Menge {2, 4, 6}.
Ereignisse sind jene mathematischen Objekte, denen Wahrscheinlichkeiten
zugeordnet werden.
Die am häufigsten benötigten Verknüpfungen von Ereignissen sind
A È B
("A oder B", auch als
A Ú B
geschrieben),
A Ç B
("A und B", auch als
A Ù B
geschrieben)
und das Gegenereignis
Ø A
("nicht-A").
Siehe auch Verbundereignis.
- Ereignisraum
- Der Ereignisraum eines Zufallsexperiments ist
die Menge seiner Versuchsausgänge (Elementarereignisse).
Seine Teilmengen sind die Ereignisse, denen Wahrscheinlichkeiten
zugeordnet werden.
- Ereignisse, disjunkte (einander auschließende)
- Siehe disjunkte Ereignisse.
- Ergänzen auf ein vollständiges Quadrat
- Die Beobachtung, daß ein Term der Form
x2 + p x
auch als
(x + p/2)2 - p2/4 geschrieben werden kann.
(Dabei handelt es sich um eine Identität).
Die Größe x kommt jetzt nur mehr
innerhalb eines Quadrats vor.
Der Name rührt daher:
Durch Addition von p2/4
wird der ursprüngliche Term x2 + p x
zum Quadrat (x + p/2)2
ergänzt.
Danach muß die Ergänzung
p2/4
wieder subtrahiert werden, um die obige Identität zu erhalten.
Dieses Verfahren wird zum Lösen
quadratischer Gleichungen (bzw. zur
Herleitung der kleinen Lösungsformel) benützt.
Eine weitere Anwendung besteht in der Berechnung so genannter
Gaußscher Integrale.
- Erste Mediane
- Siehe Mediane.
- Erwartungswert einer diskreten Zufallsvariablen
- Der Erwartungswert einer Zufallsvariable a in einer
diskreten Wahrscheinlichkeitsverteilung ist
gegeben durch
m º
< a>
= a1 p1 + a2 p2 + a3 p2 + ...,
wobei die
pk die Wahrscheinlichkeiten der Verteilung
und die ak die Werte der
Zufallsvariablen a für die einzelnen
Versuchsausgänge sind. Eine andere Schreibweise dafür ist E(a).
Der Erwartungwert ist der für eine gegen unendlich strebende Zahl von Versuchdurchführungen
vorausgesagte Mittelwert
(siehe auch Wahrscheinlichkeit und relative Häufigkeit).
- Erweitern eines Bruchs
- Siehe Bruchrechnen.
- ''Es existiert ein''
- kann durch das Symbol $ abgekürzt werden.
- Eulersche Gerade
- In jedem Dreieck liegen drei der vier so genannten
merkwürdigen Punkte, nämlich der
Höhenschnittpunkt, der
Umkreismittelpunkt und der
Schwerpunkt, auf einer Geraden, der so genannten Eulerschen Geraden.
- Eulersche Zahl
- Siehe e.
- exp
- ist das Symbol für jene Exponentialfunktion, deren
Basis die Eulersche Zahl e ist:
exp(x) =
ex.
Manchmal wird speziell diese Funktion als "die Exponentialfunktion" bezeichnet. Sie hat
ein eigenes Symbol bekommen, weil sie in vielen Gebieten der Mathematik verwendet wird und
an Stelle von x manchmal recht lange Ausdrücke
auftreten. Die zu exp inverse Funktion ist der
natürliche Logarithmus.
Steckbrief der Funktion
.
- Explizite Funktionsdarstellung
- oder explizite Funktionsdefinition meint die Angabe oder Darstellung einer
Funktion in einer Weise, die die direkte Berechnung von Funktionswerten
durch die Auswertung eines Ausdrucks erlaubt. Dazu gehört die Darstellung
durch einen Term (siehe Termdarstellung)
oder mehrere, durch eine Fallunterscheidung kombinierte Terme.
So ist beispielsweise durch die (explizite) Funktionsgleichung
y =
x2 - 3
eine Funktion definiert, die wir auch in der Form
y(x) =
x2 - 3
anschreiben können.
Siehe auch implizite Funktionsdarstellung.
- Exponent
- oder Hochzahl ist beim Bilden einer Potenz
am
die Bezeichnung der Zahl m.
- Exponentialfunktion
- wird eine Funktion genannt, die durch eine Zuordnungsvorschrift der Form
x ®
ax oder, allgemeiner,
x ® c
abx definiert ist.
Eine Exponentialfunktion drückt also die Abhängigkeit einer
Potenz von ihrem Exponenten
aus. Manchmal ist mit diesem Begriff speziell die Funktion exp, d.h. der Spezialfall
x ®
ex gemeint.
Ist a eine positive reelle Zahl, so ist die Potenz
ax
für alle reellen Zahlen x definiert
(siehe Potenzen mit reellen Exponenten).
In diesem Fall kann die Zuordnung x
®
ax als Funktion
R ® R
angesehen werden. Ihre Werte sind immer positiv.
Für a > 1 ist sie
streng monoton wachsend,
für a < 1
streng monoton fallend
(in beiden Fällen also injektiv, d.h. umkehrbar) und
für a = 1 konstant.
Eine Exponentialfunktion der Form
x ® c
abx kann immer als
x ® c
Ax mit A = ab
geschrieben werden. Daraus ergibt sich, dass die Konstanten
a und b
keine voneinander unabhängige Bedeutung haben
- eine kann frei gewählt werden, denn es kommt nur auf
die Kombination ab an.
Oft wird für a die
natürliche Basis e
verwendet; manchmal - insbesondere in der Schulmathematik -
ist es hingegen bequemer, b = 1 zu
setzen (siehe auch Umrechnen von Basen für Potenzen und Logarithmen).
Die Konstante c ist der Funktionswert
an der Stelle x = 0.
Die wichtigste Eigenschaft der Exponentialfunktionen ist folgende:
Wird die unabhängigeVariable von x auf
x + s
geändert, so ändert sich der Funktionswert um einen
nur von s abhängigen
(d.h. von x unabhängigen) Faktor.
Exponentialfunktionen sind transzendente Funktionen, d.h.
ihre Berechnung für beliebige x geht über die elementaren Rechenmethoden hinaus.
Sie werden insbesondere zur Modellierung
exponentieller Prozesse
verwendet. Die
ergeben sich aus jenen für Potenzen.
Exponentialfunktionen können auf komplexe Argumente
x und komplexe Basen a ausgedehnt
werden.
Die zu ihnen inversen Funktionen sind die
Logarithmen.
- Exponentialfunktionen, Ableitungen
- Die Ableitungen der Exponentialfunktionen entnehmen Sie
Tabelle. Die Beziehung
( ex ) ' = ex
unterstreicht die Bedeutung der Eulerschen Zahl
e.
- Exponential- und logarithmische Gleichungen
- sind Gleichungen, die
die Variable (Unbekannte) im Exponenten oder den Logarithmus der Variablen
enthalten. Im ersten Fall (Beispiel:
2x = 3)
kann die Lösung in der Regel erhalten werden, indem auf beide Seiten der
Logarithmus (zu einer beliebigen Basis) angewandt wird.
Im zweiten Fall (Beispiel:
lg(x2)
= lg(x) + 1
)
führt manchmal die Anwendung der Rechenregeln für den
Logarithmus zum Ziel.
Nicht immer können die Lösungen einer derartigen Gleichung
- selbst wenn sie existieren -
unter Verwendung der üblichen Rechenoperationen und Funktionen
(d.h. in "geschlossener" Form) dargestellt werden (Beipiel:
2x =
-x).
In solchen Fällen bleibt nur mehr der Weg zu
numerischen Lösungstechniken.
- Exponentielle Abnahme
- auch exponentieller Zerfall genannt, ist ein exponentieller Prozess,
der durch eine streng monoton fallende
Exponentialfunktion beschrieben wird.
Der reinste in der Natur vorkommende Prozess exponentieller Abnahme ist der
radioaktive Zerfall
(siehe auch Radiokarbonmethode).
Beispiel: Nimmt eine exponentiell fallende Größe f
während jeder Stunde um 5 Prozent ab, und hat sie zu Beginn den Wert 3,
so wird sie durch die Funktion
f (t) =
3 × 0.95t
beschrieben, wobei t die in Stunden gemessene Zeit ist.
Wird zur Beschreibung solcher Prozesse die Basis 2 verwendet,
so lässt sich die Halbwertszeit (die Zeit, während der sich
f auf die Hälfte absinkt) leicht ablesen:
Ist beispielsweise f (t) =
5 × 2-t/4, so
beträgt sie 4. Man beachte, dass dieser Prozess auch in der Form
f (t) =
5 × (1/2)t/4
angeschrieben werden kann. Um exponentielle Abnahme zu beschreiben, muss entweder
die Basis kleiner als 1 sein oder der Exponent ein Minuszeichen enthalten
- beide Möglichkeiten sind völlig gleichwertig.
Oft wird auch die natürliche Basis e
verwendet und
f (t)
= f (0)
e-lt
geschrieben, wobei l als
Zerfallskonstante (oder Zerfallsrate) bezeichnet wird.
Der allgemeine Zusammenhang zwischen der Halbwertszeit s
und der Zerfallskonstante l ist durch
l = (ln 2)/s
gegeben. Siehe auch
Umrechnen von Basen für Potenzen und Logarithmen.
- Exponentieller Prozess
- Ein (kontinuierlicher) exponentieller Prozess liegt vor, wenn eine
Größe f von einer
anderen Größe x
abhängt und folgende Eigenschaft erfüllt ist:
In gleich großen Intervallen von x
ändert sich f um den gleichen Faktor.
Falls x
die Zeit bedeutet, können wir uns einen exponentiellen Prozess als
zeitlichen Verlauf einer Größe f
vorstellen, während dessen sich f
in gleichen Zeitintervallen um den gleichen Faktor ändert.
Wird die betrachtete Abhängigkeit als Funktion
x ®
f (x) gedeutet,
so bedeutet das in Formeln: Wird x um
einen bestimmten Wert s auf
x + s
erhöht, so ist die entsprechende Änderung des Funktionswerts
(von f (x)
auf
f (x
+ s)) von folgendem Typ:
f(x
+ s)
=
Faktor, der nur von s abhängt
×
f(x) .
Diese Eigenschaft wird genau von den Exponentialfunktionen
erfüllt. Letzere werden daher herangezogen, um exponentielle Prozesse zu modellieren.
Ganz allgemein wird ein solcher Prozess durch eine Funktion der Form
f (x)
= c
abx
beschrieben, wobei a (> 0),
b und c
Konstante sind. Dies kann auch in der Form
f (x)
= c
Ax
mit
A = ab
geschrieben werden, wobei c der "Anfangswert"
f (0) ist.
Ist A > 1, so handelt es sich um einen
exponentiellen Wachstumsprozess,
ist A < 1, so liegt
exponentielle Abnahme (exponentieller Zerfall) vor.
Modelle dieser Art werden kontinuierlich genannt, da in ihnen die Zeit
durch eine reelle Variable dargestellt wird. Im Gegensatz dazu verläuft in
diskreten Modellen die Zeit in "Schritten".
- Exponentielles Wachstum
- ist ein exponentieller Prozess,
der durch eine streng monoton wachsende
Exponentialfunktion beschrieben wird.
Oft wird als Beispiel eines solchen Prozesses das Wachstum einer Bakterienkultur
herangezogen.
Beispiel: Nimmt eine exponentiell wachsende Größe f
während jeder Stunde um 5 Prozent zu, und hat sie zu Beginn den Wert 3,
so wird sie durch die Funktion
f (t) =
3 × 1.05t
beschrieben, wobei t die in Stunden gemessene Zeit ist.
Wird zur Beschreibung solcher Prozesse die Basis 2 verwendet,
so lässt sich die Verdoppelungszeit (die Zeit, während der sich
f verdoppelt) leicht ablesen:
Ist beispielsweise f (t) =
5 × 2t/4, so
beträgt sie 4.
Oft wird auch die natürliche Basis e
verwendet und
f (t)
= f (0)
elt
geschrieben, wobei l als Wachstumsrate bezeichnet wird.
- Extrema, lokale, Charakterisierung von
- Sind die Kandidaten für die lokalen Extrema
einer differenzierbaren Funktion f durch Lösen der
Gleichung f '(x0) = 0
gefunden, so stellt sich die Frage, welche von ihnen
lokale Maxima, welche lokale Minima
und welche keins von beiden darstellen.
(Im letzteren Fall wird es sich in der Regel um Sattelstellen handeln).
Dafür gibt es mehrere Kriterien:
- Oft führt ein simpler Vergleich von Funktionswerten zum Ziel.
- Ändert die Ableitung von f
an der Stelle x0
ihr Vorzeichen von positiv auf negativ, so ist x0 eine lokale Maximumstelle.
Ändert die Ableitung von f
an der Stelle x0
ihr Vorzeichen von negativ auf positiv, so ist x0 eine lokale Minimumstelle.
- Existiert die zweite Ableitung von
f, so ist ein weiteres Kriterium dieses:
Gilt f ''(x0) < 0,
so ist x0 eine lokale Maximumstelle.
Gilt f ''(x0) > 0,
so ist x0 eine
lokale Minimumstelle.
Gilt f ''(x0) = 0,
so lässt sich daraus keine Aussage über den Typ von x0 machen.
- Extremum, globales
- gemeinsamer Name für
globales Maximum
und globales Minimum.
- Extremum, lokales
- gemeinsamer Name für
lokales Minimum und
lokales Maximum.
Hat die Ableitung einer differenzierbaren Funktion
f º f(x)
innerhalb eines Intervalls für x < x0
ein anderes Vorzeichen als für x > x0,
und gilt f '(x0) = 0,
so heißt x0
lokale Extremstelle (oder kurz lokales Extremum). Der entsprechende Punkt
(x0, f(x0)
am Graphen ist entweder ein Tiefpunkt oder ein Hochpunkt.
Kandidaten für diese Art lokale Extrema einer gegebenen Funktion f
sind die Lösungen der Gleichung
f '(x0) = 0.
Siehe auch Charakterisierung lokaler Extrema und
Extremwertaufgabe.
Ist eine Funktion nicht für alle reellen Zahlen definiert,
so können lokale Extrema auch an den Randstellen ihres Definitionsbereichs
auftreten.
- Extremwertaufgabe
- oder Opimierungsaufgabe ist das Problem, ein (globales oder lokales) Extremum einer
Funktion (Zielfunktion) zu finden. Diese Funktion hängt in der Regel von mehreren Variablen ab,
zwischen denen Zusammenhänge (Nebenbedingungen) bestehen.
(Die Aussage, dass die Zielfunktion maximal/minimal sein soll, wird manchmal auch als
Hauptbedingung bezeichnet). In den meisten zu Übungszwecken
verordneten Extremwertaufgaben können die Nebenbedingungen ausgenutzt werden, um die
Zahl der Variable zu reduzieren, bis schließlich eine Zielfunktion
f übrigbleibt, die nur von einer Variable
f abhängt
(und möglicherweise auf einen Definitionsbereich
eingeschränkt wird, ausserhalb dessen die gestellte Aufgabe keinen Sinn macht). Deren
lokale Extrema können dann nach einem Standardverfahren gefunden werden:
Zunächst wird die Gleichung f '(x) = 0 nach
x gelöst, um alle Kandidaten für lokale Extrema zu erhalten.
Diese Kandidaten werden (gegebenenfalls unter Berücksichtigung der
Verhältnisse an den Rändern des Definitionsbereichs)
näher überprüft, bis das gesuchte Extremum identifiziert worden ist.
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