Beispiele: Grenzwerte unbestimmter Formen und die Regel von de l'Hospital

Beispiele: Grenzwerte unbestimmter Formen und die Regel von de l'Hospital:

Vorbemerkungen:

Die unbestimmten Formen 0/0, ¥/¥ und 0 × ¥ sind keine voneinander getrennten Konzepte, sondern lassen sich ineinander umwandeln. So ist etwa der Ausdruck

x
cos x - 1

bei x = 0 eine unbestimmte Form 0/0, als

x 1
cos x - 1

angeschrieben jedoch eine unbestimmte Form 0 × ¥.
Um die Regel von de l'Hospital auf einen gegebenen Ausdruck anwenden zu können, wird er so als Quotient f(x)/g(x) geschrieben, dass Zähler und Nenner an der Stelle x₀ (oder für x ® ¥ oder x ® -¥) entweder beide verschwinden oder beide unendlich werden. Dann werden Zähler und Nenner durch ihre Ableitungen ersetzt und, falls wieder eine unbestimmte Form herauskommt, dieser Vorgang wiederholt. Resultiert nach endlich vielen Schritten ein Ausdruck, dessen Grenzwert existiert und sich berechnen lässt, so stellt das eine Rechtfertigung für die vorangegangenen Schritte dar. Strebt der Ausdruck hingegen gegen ¥ oder -¥ oder strebt sein Kehrwert gegen 0, so gilt das auch für die gegebene unbestimmte Form.

Beispiele:

Für das oben angeführte Beispiel finden wir

	x cos x - 1	=		1 -sin x	... existiert nicht.
lim			lim
x ® 0			x ® 0

Um dieses Resultat besser zu verstehen, betrachen wir den Kehrwert des gegebenen Ausdrucks:

	cos x - 1 x	=		- sin x 1	= 0,
lim			lim
x ® 0			x ® 0

was den Grund für die Nichtexistenz des Grenzwerts von x/(cos x - 1) für x ® 0 hinreichend aufklärt. Es handelt sich hier nicht um eine Definitionslücke, die stetig geschlossen werden könnte, sondern um eine echte Singularität (Unendlichkeitsstelle).

Die Regel von de l'Hospital kann dazu benutzt werden, Näherungsformeln aufzustellen. So impliziert das Resultat

	e^x - 1 x	=		e^x 1	= 1	,
lim			lim
x ® 0			x ® 0

dass e^x - 1 » x, d.h. dass

e^x » 1 + x

für kleine x. (Wir kennen diese Formel bereits aus dem Kapitel Exponentialfunktion und Logarithmus - dort trat sie im Wesentlichen als Definition der Zahl e auf - und haben sie bei der Berechnung der Ableitungen der Exponentialfunktionen im Kapitel Differenzieren 1 benutzt). Man kann sie mit Hilfe der Regel von de l'Hospital verbessern: Wegen

	e^x - 1 - x x²	=		e^x - 1 2x	=
lim			lim
x ® 0			x ® 0

=		e^x 2	=	1 2
	lim
	x ® 0

ist

e^x	»	1 + x +	1 2	x²

für kleine x. Vergleichen Sie die Graphen der Funktionen e^x, 1 + x und 1 + x + x²/2 (z.B. mit dem Funktionsplotter) ! Im Kapitel Potenzreihen wird die Genauigkeit derartiger Näherungsformeln noch (unbegrenzt) gesteigert.

Übungsaufgabe: Berechnen Sie den Grenzwert der unbestimmten Form (sin x - x)/x³ für x ® 0 und stellen Sie aus dem Ergebnis eine Näherungsformel für die Sinusfunktion kleiner Argumente auf, die besser ist als das (bereits aus dem Kapitel Winkelfunktionen bekannte) Resultat sin x » x !

Die Regel von de l'Hospital erlaubt es, das Wachstum von Funktionen an bestimmten Stellen oder "im Unendlichen" zu vergleichen. So folgt mit f(x) = x und g(x) = e^x, dass
lim_{x ® ¥} x e^-x = lim_{x ® ¥} e^-x = 0.
Das bedeutet: Für unbeschränkt wachsendes x wächst e^x stärker als x. Das ist noch keine Überraschung. Berechnen Sie nun den Grenzwert lim_{x ® ¥} x² e^-x, so werden Sie (nach zweimaliger Anwendung der Regel) ebenfalls das Resultat 0 finden. Für unbeschränkt wachsendes x steigt e^x daher stärker als x². Dasselbe können Sie mit beliebigen höheren Potenzen machen, jedes mal mit demselben Befund (nach jeder Differentiation verringert sich der Grad der Potenz), woraus sich ergibt:
Für unbeschränkt wachsendes x wächst e^x stärker als jede Potenz xⁿ.
Als zweite Anwendung fragen wir, wie sich der natürliche Logaritmus für kleine positive x verhält. Dazu beschränken wir uns auf das Intervall x > 0 und betrachten den "rechtsseitigen Grenzwert" (bezeichnet als x ® 0⁺ ), d.h. die Annäherung an die Stelle 0 durch Folgen positiver Zahlen. Auch für diesen Fall ist die Regel von de l'Hospital anwendbar. Mit f(x) = ln x und g(x) = 1/x, deren Beträge für x ® 0⁺ gegen ¥ streben, f '(x) = 1/x und g'(x) = -1/x² ergibt sich
lim_{x ® 0⁺} x ln x = lim_{x ® 0⁺} (-x) = 0.
Das bedeutet, dass der (Betrag des) Logarithmus für x ® 0⁺ langsamer (schwächer) wächst als 1/x. Auch diese Aussage läßt sich verschärfen: Zeigen Sie als Übungsaufgabe selbständig, dass (der Betrag von) ln x für x ® 0⁺ langsamer wächst als 1/x^e für jedes (beliebig kleine) e > 0 !