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- Unter dem Unterraum eine
Vektorraumes versteht man eine Menge von Vektoren (einschließlich des
Nullvektors 0), die zwei Bedingungen genügen: Wenn v
und w Vektoren aus dem Unterraum und c eine skalare
Grösse sind, dann
- ist v+w Element des Unterraumes
- ist cv Element des Unterraumes
Mit
v und w sind auch alle Linearkombinationen dieser
Vektoren Element des Unterraumes.
Jeder Unterraum enthält
den Nullvektor.
- Unter dem
Spaltenraum
einer Matrix
A versteht man
die Menge aller Linearkombinationen der Spalten von
A, dargestellt als
Ax. Unter dem
Zeilenraum
versteht man analog dazu die Menge aller
Linearkombinationen der Zeilen von A.
Beide Räume sind Unterräume von
Rn .
- Eine Menge von Vektoren
spannt einen Raum auf, wenn
deren Linearkombinationen den Raum ausfüllen. Eine derartige Menge nennt man
einen Span.
Der Zeilenraum einer Matrix A aus Rnxn ist eine Unterraum von Rnxn
, der durch die Linearkombination der Zeilen von A aufgespannt wird.
- Eine Basis eines Vektorraumes ist
eine Menge von Vektoren, die zwei Eigenschaften erfüllt:
- Die Vektoren sind linear unabhängig
- Die Vektoren spannen den Raum auf
Die Vektoren e1 ,e2,
e3 bilden z.B. eine Basis für den R3
Die Spalten jeder invertierbaren nxn
Matrix bilden eine Basis für Rn, den ihre Spalten sind linear
unabhängig (die einzige Lösung für Ax=0 is tin
diesem Fall der Nullvektor) und jeder Vektor b aus Rn
lässt sich eindeutig als Linearkombination der Spaltenvektoren darstellen,
d.h. sie spannen Rn auf.
- Eine Vektorraume hat zwar
unendlich viele Basen, aber jede Basis für den Rn enthält
jeweils nur n Vektoren. Deshalb sagt man, dass man unter der
Dimension eines Vektorraumes die Anzahl der Vektoren in jeder
seiner Basen versteht.
Die Begriff "Unabhängigkeit", "Basis" und
"Dimension" gelten nicht nur für Spaltenvektoren. Man kann ebenso sinnvoll
fragen, welche von den 3 x 4 - Matrizen A1,
A2, A3 linear voneinander unabhängig sind. Diese
Matrizen stammen aus dem Raum aller 3 x 4 - Matrizen. Dieser
Matrizenraum hat ebenfalls eine Dimension (12)
.
Ebenso kann man für lineare Differentialgleichungen n-ter
Ordnung eine Basis für die Lösung der homogenen Gleichung finden. Diese
Lösungen sind linear unabhängig voneinander und bilden die Basis für den
Lösungsraum, einen Funktionenraum .
Der Raum
¢ der aus dem Nullvektor
besteht, hat die Dimension Null. Die leere Menge ø ist die Basis dieses
Raumes.
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