Die Basis eines Vektorraumes im Rn Andreas Pester Fachhochschule Techikum Kärnten, Villach
pester@cti.ac.at Zusammenfassung: In diesem Abschnitt wird der Begriff der Basis eines Vektorraumes eingeführt

Stichworte: Defintionen | Unterraum | Spaltenraum | Span | Basis | Theorem | Beispiel | Dimension | Schlußfolgerung

  1. Unter dem Unterraum eine Vektorraumes versteht man eine Menge von Vektoren (einschließlich des Nullvektors 0), die zwei Bedingungen genügen: Wenn v und w Vektoren aus dem Unterraum und c eine skalare Grösse sind, dann

          Mit v und w sind auch alle Linearkombinationen dieser Vektoren Element des Unterraumes.
          Jeder Unterraum enthält den Nullvektor.

  1. Unter dem Spaltenraum einer Matrix A versteht man die Menge aller Linearkombinationen der Spalten von A, dargestellt als Ax. Unter dem Zeilenraum versteht man analog dazu die Menge aller Linearkombinationen der Zeilen von A. Beide Räume sind Unterräume von Rn .
     
  2. Eine Menge von Vektoren spannt  einen Raum auf, wenn deren Linearkombinationen den Raum ausfüllen. Eine derartige Menge nennt man einen Span.
    Der Zeilenraum einer Matrix A aus Rnxn ist eine Unterraum von Rnxn , der durch die Linearkombination der Zeilen von A aufgespannt wird.
     
  3. Eine Basis eines Vektorraumes ist eine Menge von Vektoren, die zwei Eigenschaften erfüllt:

    Die Vektoren e1 ,e2, e3 bilden z.B. eine Basis für den R3

    Die Spalten jeder invertierbaren nxn Matrix bilden eine Basis für Rn, den ihre Spalten sind linear unabhängig (die einzige Lösung für Ax=0 is tin diesem Fall der Nullvektor) und jeder Vektor b aus Rn lässt sich eindeutig als Linearkombination der Spaltenvektoren darstellen, d.h. sie spannen Rn auf.

Die Vektoren v1,v2, ...,vn bilden genau dann eine Basis für Rn , wenn sie die Spalten einer invertierbaren nxn Matrix darstellen. Der Rn hat somit unendlich viele Basen.

 die Spalten dieser Matrix bildene eine Basis für R3

ist keine Basis für R2 , da die Spalten linear abhängig sind
  1. Eine Vektorraume hat zwar unendlich viele Basen, aber  jede Basis für den Rn  enthält jeweils nur n Vektoren. Deshalb sagt man, dass man unter der Dimension eines Vektorraumes die Anzahl der  Vektoren in jeder seiner Basen versteht.

Die Begriff "Unabhängigkeit", "Basis" und "Dimension" gelten nicht nur für Spaltenvektoren. Man kann ebenso sinnvoll fragen, welche von den 3 x 4 - Matrizen A1, A2, A3  linear voneinander unabhängig sind. Diese Matrizen stammen aus dem Raum aller 3 x 4 - Matrizen. Dieser Matrizenraum hat ebenfalls eine Dimension (12) .

Ebenso kann man für lineare Differentialgleichungen n-ter Ordnung eine Basis für die Lösung der homogenen Gleichung finden.  Diese Lösungen sind linear unabhängig voneinander und bilden die Basis für den Lösungsraum, einen Funktionenraum .

Der Raum ¢ der aus dem Nullvektor besteht, hat die Dimension Null. Die leere Menge ø ist die Basis dieses Raumes.