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8.1 Schwerpunkt mt beliebigen Massen
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Im Kapitel 2 wurde die Formel für den Massenmittelpunkt eines
Systems aus n
Massenpunkten besprochen. Wendest du sie auf ein Dreieck an, so lautet sie
| M
= |
mA A
+ mB B + mC C |
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mA + mB + mC
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Dabei kommt es nicht auf die einzelnen Massen an, sndern nur auf ihre
Verhältnisse. Du kannst sie beliebig vorgeben. Beispielsweise wird durch das
Massenverhätnis
mA : mB : mC
= 5 : 7 : 2 ein ganz bestimmter Punkt festgelegt.
In diesem Sinn lässt sich jeder Punkt innerhalb der Dreiecksfläche
als Massenmittelpunkt darstellen.
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8.2 Schwerpunkt mit beliebigen Gewichten
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In der Mathematik wird oft nach möglichen (und sinnvollen) Verallgemeinerungen
des bisher Bekannten gesucht. Eine solche Verallgemeinerung ergibt sich hier, indem
darauf verzichtet wird, dass die Massen mA,
mB und
mC
positiv sein müssen. Rein rechnerisch kannst du ein beliebiges (nichttriviales)
Zahlenverhältnis wie beispielsweise
mA : mB : mB
= 5 : -7 : 2
angeben und den daraus resultierenden Punkt
| M
= |
mA A
+ mB B + mC C |
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mA + mB + mC
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berechnen. Auf diese Weise kannst du jeden Punkt der Ebene darstellen!
(Dabei ist lediglich vorausgesetzt, dass das Dreieck ABC
ein "echtes" Dreieck ist, d.h. dass seine Fläche
¹ 0 ist).
Die Zahlen mA,
mB und
mC
(die nun nicht mehr als Massen gedeutet werden können) heißen
baryzentrische Koordinaten. Sie erlauben es, die Lage von Punkten der Ebene
in Bezug auf ein gegebenes Dreieck anzugeben.
Sie sind nicht eindeutig: Werden alle baryzentrische Koordinaten mit dem
gleichen Faktor (¹ 0) multipliziert, so kürzt sich dieser bei der Berechnung des
dargestellten Punktes wieder heraus.
Daher genügt es, ihre Verhältnisse (in sinnvoll gekürzter Form) anzugeben.
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8.3 Punkte in baryzentrischen Koordinaten angeben
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Die Lage des Schwerpunkts S
eines Dreiecks kann durch die baryzentrischen Koordinatenverhältnisse
1 : 1 : 1
ausgedrückt werden. Wie du siehst, ist eine solche Angabe der Lage von Punkten sehr bequem!
Durch welche baryzentrischen Koordinatenverhältnisse können
- der Inkreismittelpunkt I
- der Schwerpunkt S' der Dreieckslinie
ausgedrückt werden?
Lösung
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