Zusammenfassung:
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Eine Ungleichung in einer Variablen (Unbekannten) x ist eine ''Behauptung'' der Form
wobei Linke Seite und Rechte Seite Terme sind, die von x abhängen. Dabei steht x für ein - zunächst beliebiges - Element einer Menge G (Grundmenge), die zusätzlich zur Gleichung angegeben sein muss. Wird die Grundmenge nicht eigens erwähnt, so wird üblicherweise angenommen, dass sie gleich der Menge R der reellen Zahlen ist. Eine Lösung der Gleichung ist ein Element x Î G, für welches die Behauptung eine wahre Aussage ist. Die Menge aller Lösungen einer Gleichung heißt Lösungsmenge und wird üblicherweise mit L bezeichnet. Sie kann ein oder mehrere (sogar unendlich viele) Elemente enthalten oder auch leer sein. Achtung: Die Variable (Unbekannte) wird zwar oft x genannt, kann aber auch mit anderen Buchstaben bezeichnet werden. |
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Willst du eine Ungleichung lösen, dann versuchst du jene Elemente deiner Grundmenge
G zu finden, welche die
Ungleichung erfüllen. Diese gefundenen Elemente bilden dann die Lösungsmenge
L. | ||||||||||||||||||||||||||||
In der Einführung haben wir gesehen, dass sich bei Äquivalenzumformungen von Ungleichungen das Ungleichheitszeichen ändert, falls mit einer negativen Zahl multipliziert bzw. dividiert wird. | ||||||||||||||||||||||||||||
Wichtig:
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© Gerald | ||||||||||||||||||||||||||||
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Eine lineare Ungleichung (in der Variablen x) ist eine Gleichung der Form
wobei A, B, C und D vorgegebene (bekannte) Zahlen sind. Zwei Beispiele für lineare Ungleichungen:
Lösen des zweiten Ungleichungssystems in R:
L = {x Î R | x ³ 4/3} Die graphische Darstellung der Lösungsmenge L:
Wie würde L für x Î N aussehen (graphisch)?
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© Gerald | ||||||||||||||||||||||||||||
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In diesem Abschnitt sollen mehrere (zwei, drei,...) Ungleichungen miteinander verknüpft werden. Es gibt mehrere Arten, diese Verknüpfung herzustellen. Wir wollen uns die zwei wichtigsten ansehen:
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Hier werden zwei, drei,... Ungleichungen mit der logischen Operation UND
verknüpft.
Es wird also nach Elementen der Grundmenge gefragt, welche die erste und die zweite (und die dritte,...) Ungleichung erfüllen.
Allgemein gilt: | ||||||||||||||||||||||||||||
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Verbindende Ungleichungssysteme werden oft ohne das Zeichen " ^ " angeschrieben, man schreibt die Ungleichungen untereinander.
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Hier werden zwei, drei,... Ungleichungen mit der logischen Operation ODER
verknüpft.
Es wird also nach Elementen der Grundmenge gefragt, welche die erste oder die zweite (oder die dritte,...) Ungleichung erfüllen.
Allgemein gilt: | ||||||||||||||||||||||||||||
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© Markus | |||||||||||||||||||||||||||
quadratische Ungleichungen | ||||||||||||||||||||||||||||
Quadratische Ungleichung sind Ungleichungen der Art
Die Ungleichung kann auch unscharf sein. Die Lösungsmenge L dieser
Ungleichung enthält alle reellen Zahlen x, die die Ungleichung erfüllen, also:
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Um eine derartige Ungleichung zu lösen, löst man zuerst die dazugehörige quadratische Gleichung: p(x) = a·x2 + b·x + c = 0 Mit Hilfe des Vietaschen Satzes (LINK: Vietascher Satz) kann diese quadratische Gleichung dann als Produkt von Linearfaktoren geschrieben werden:
wobei x1 und x2 Lösungen der quadratischen Gleichung p(x) = a·x2 + b·x + c = 0 sind. 1. Fall: Soll nun die quadratische Ungleichung p(x) = a·x2 + b·x + c < 0 gelöst werden, dann bedeutet dies nach der obigen Faktorzerlegung: (x - x1)(x - x2) < 0 Das Produkt zweier Faktoren ergibt genau dann ein negatives Ergebnis, wenn die Faktoren unterschiedliche Vorzeichen haben. Es gibt genau zwei Kombinationen bei denen das der Fall ist:
Die Aussagen in den beiden Konjunktionen müssen gleichzeitig wahr sein. Daraus kann man schließen, welche der Varianten die Lösung ist. | Beispiel | |||||||||||||||||||||||||||
2. Fall: Soll nun die quadratische Ungleichung p(x) = a·x2 + b·x + c > 0 gelöst werden, dann bedeutet dies nach der obigen Faktorzerlegung: (x - x1)(x - x2) > 0 Das Produkt zweier Faktoren ergibt genau dann ein positives Ergebnis, wenn die Faktoren gleichzeitig dasselbe Vorzeichen haben. Es gibt wiederum genau zwei Kombinationen bei denen das der Fall ist:
Die Aussagen in den beiden Konjunktionen müssen wiederum gleichzeitig wahr sein. Daraus lässt sich dann erneut die Lösung schließen. | Beispiel | |||||||||||||||||||||||||||
Ein Spezialfall bei der Lösung einer quadratischen Ungleichung ergibt sich dann, wenn die Lösungen der dazugehörigen quadratischen Gleichung zusammenfallen, d.h.: x1 = x2 = a. Bei der Faktorzerlegung mit Hilfe des Vietaschen Satzes ergibt sich dann: (x - x1)(x - x2) = (x - a)(x - a) = (x - a)² Dann gilt für die Ungleichung (x - a)2 < 0, dass sie für keine reelle Zahl erfüllt ist, da ein Quadrat einer Zahl nie negativ sein kann – Lösungsmenge L = Ø Die
Ungleichung (x - a)2 > 0 ist allerdings für alle
reellen Zahlen außer für x = a erfüllt, denn nur für x = a wird (x - a) = 0.
Ansonsten ist das Quadrat (x - a)2 immer
positiv Graphisch entspricht diesem Fall eine nach oben offene Parabel, deren Scheitelpunkt die x-Achse in x = a berührt. (SKIZZE?) | ||||||||||||||||||||||||||||
Kommen wir noch kurz zum Fall von komplexen Lösungen: x2
- 2x + 2 < 0 Man sieht leicht, dass die Gleichung p(x) = 0 nur komplexe Lösungen hat: x1 = 1 - i und x2 = 1 + i. Die Funktion p(x) = x2 - 2x + 2 ist eine Parabel, deren Scheitelpunkt über der x-Achse liegt.
Also gibt es keinen Wert x , für den die Ungleichung x2 - 2x + 2 < 0 erfüllt wäre – Lösungsmenge L = Ø. Aber die Ungleichung x2 - 2x + 2 > 0 hat eine Lösung, genauer gesagt unendlich viele Lösungen: L = R , da alle reellen Zahlen diese Ungleichung erfüllen (s. Graphik) | ||||||||||||||||||||||||||||
Abschließend fassen wir noch einmal die wichtigsten Schritte zum Lösen einer quadratischen Ungleichung zusammen: 1.) Man löse zunächst die quadratische Ungleichung nach 0 auf, d. h. man bringe alles auf eine Seite. 2.) Man bestimme die Lösungen der zugehörigen quadratischen Gleichung. 3.) Man denke sich den Graphen der zugehörigen quadratischen Funktion p(x) (Nach oben oder nach unten geöffnete Parabelfunktion; die gerade berechneten Lösungen p(x) = 0 sind die Nullstellen derselben!) 4.) Entweder man spaltet die quadratische Gleichung mit Hilfe des Vietaschen Satzes in die Linearfaktoren auf und bestimme dann durch die obigen Fallunterscheidungen die Lösungsmenge L oder man bestimme die Lösungsmenge L mit Hilfe einer Grobskizze der zugehörigen Parabelfunktion.
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© Bernhard | ||||||||||||||||||||||||||||
Zusammenstellung der Einzelbeiträge: © ppvo