Dynamische Systeme in der Ebene

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Dynamische Systeme in der Ebene Projektgruppe Analysis
Universität Innsbruck
Michael Oberguggenberger
Alexander Ostermann
Markus Unterweger

Startseite Inhalt: Auf dieser Seite finden Sie das Applet Dynamische Systeme in der Ebene und Informationen zu seiner Bedienung. Mit dem Applet können Sie Vektorfelder visualisieren und die Lösungskurven autonomer und nichtautonomer Differentialgleichungen zeichnen. Navigation: Theorie | Applet | Hilfe zur Bedienung des Applets Applet starten

letzte Änderung: 17.01.2005
Größe: 127 KB

Falls Sie Probleme haben das Applet auszuführen, lesen Sie bitte hier, welche Voraussetzungen ihr Browser haben muss, um unsere Applets anzeigen zu können.

Für den theoretischen Hintergrund des Applets verweisen wir auf den Artikel Dynamische Systeme (2D).

Um das Vektorfeld einer (autonomen) Differentialgleichung zu zeichnen, wählen Sie die Registrierkarte Vektorfeld und definieren in den Feldern x' und y' die Komponenten des Vektorfeldes. Alternativ können Sie auch mit der Auswahlbox Beispiel eines der vorgegebenen Beispiele laden. Mit Hilfe des Schiebereglers ist es möglich, die Anzahl der zu zeichnenden Pfeile des Vektorfeldes anzupassen. Mit den Optionen gleich lang bzw. nach Geschwindigkeit wird festgelegt, ob die Richtungspfeile des Vektorfelds alle gleich lang oder mit ihrem tatsächlichen Betrag gezeichnet werden. Schließlich muss in den Feldern Bereich noch der Bereich des Koordinatensystems angegeben werden, in dem das Vektorfeld gezeichnet wird. Dabei ist die minimale x-Koordinate in das linke Feld, die maximale x-Koordinate in das rechte Feld, die minimale y-Koordinate in das untere Feld und die maximale y-Koordinate in das obere Feld einzugeben. Nach Drücken des Knopfes Zeichnen wird das Vektorfeld gezeichnet. Danach können Sie durch Anklicken eines beliebigen Punktes im Vektorfeld die Lösungskurve durch diesen Punkt zeichnen lassen.

Unter der Registrierkarte Autonome DGL lösen können Sie eine autonome Differentialgleichung eingeben und die Lösungskurve zeichnen lassen. Im Unterschied zum Zeichnen der Lösungskurve im Vektorfeld wird hier nur jeweils eine Lösungskurve gezeichnet. Dazu sind die Anfangswerte (x(0), y(0)) und das Integrationsintervall anzugeben. Um zu sehen, wie die Differentialgleichung, die Anfangswerte und das Integrationsintervall eingegeben werden müssen, laden Sie einfach eines der gespeicherten Beispiele.
Unter der Registrierkarte Nicht Autonome DGL lösen können Sie eine nichtautonome Differentialgleichung eingeben und die Lösungskurve zeichnen lassen. Die genaue Bedienungsweise entnehmen Sie bitte wieder einem der Beispiele.
Mit den Optionen in der Registrierkarte Achsen haben sie die Möglichkeit, Skalierung und Aussehen der Achsen zu verändern.

Mit der Option gleich skalieren setzen Sie fest, dass eine Einheit auf der x-Achse gleich vielen Pixel entspricht wie eine Einheit auf der y-Achse. Dies stellt sicher, dass z.B. ein Kreis als Kreis abgebildet wird. Mit der Option unabhängig skalieren setzen sie fest, dass die Achsen nach den Minima und Maxima unter den auftretenden Werten skaliert werden. Bei beiden Optionen können Sie die Skalierung der Achsen durch die "+" und "-" Knöpfe anpassen, bei der Option gleich skalieren natürlich nur zusammen für beide, bei der Option unabhängig skalieren für beide Achsen unabhängig. Das Umskalieren ist beim Zeichnen von Vektorfeldern deaktiviert.
Mit den Optionen Variabel und Box können sie das Aussehen der Achsen verändern.

In der Registrierkarte Optionen können Sie Einstellungen zum numerischen Lösungsverfahren festlegen. Im Feld lokaler Fehler können Sie den gewünschten (geschätzten) lokalen Fehler des Verfahrens einstellen. Mit aktivierter Option Dense Output ist sichergestellt, dass die gezeichnete Kurve "glatt" ist. Ohne diese Option kann es bei "einfachen" Differentialgleichungen passieren, dass die Kurve eckig wird, da das Lösungsverfahren versucht, immer eine möglichst große Schrittweite zu verwenden. (Betrachten Sie z.B. die Lösungskurve der Differentialgleichnung x'(t) = t mit und ohne aktiviertem dense output.)
Zur Berechnung der Lösung der Differentialgleichung wird ein Runge-Kutta-Verfahren der Ordnung 5 mit einem eingebetten Verfahren der Ordnung 4 zur Steuerung der Schrittweite verwendet. Die Schrittweite wird dabei so angepasst, dass der eingestelle lokale Fehler möglichst nicht überschritten wird. Ausgehend vom Startzeitpunkt wird jeweils maximal 2000 Schritte (in der Zeit) vorwärts und rückwarts integriert. Falls (um die Grenzen des Intergrationsintervalls zu erreichen) diese maximale Anzahl überschritten oder die Schrittweite zu klein wird (bei "steifen" Differentialgleichungen), wird eine entsprechende Fehlermeldung ausgegeben.
Falls Sie weitere Fragen zum Applet haben, uns Hinweise auf Fehler oder Kommentare zukommen lassen wollen, schreiben Sie uns bitte.