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Für den theoretischen Hintergrund des Applets verweisen wir auf den Artikel Dynamische Systeme (2D).
Vektorfelder Um das Vektorfeld einer (autonomen) Differentialgleichung zu zeichnen, wählen Sie die Registrierkarte Vektorfeld und definieren in den Feldern x' und y' die Komponenten des Vektorfeldes. Alternativ können Sie auch mit der Auswahlbox Beispiel eines der vorgegebenen Beispiele laden. Mit Hilfe des Schiebereglers ist es möglich, die Anzahl der zu zeichnenden Pfeile des Vektorfeldes anzupassen. Mit den Optionen gleich lang bzw. nach Geschwindigkeit wird festgelegt, ob die Richtungspfeile des Vektorfelds alle gleich lang oder mit ihrem tatsächlichen Betrag gezeichnet werden. Schließlich muss in den Feldern Bereich noch der Bereich des Koordinatensystems angegeben werden, in dem das Vektorfeld gezeichnet wird. Dabei ist die minimale x-Koordinate in das linke Feld, die maximale x-Koordinate in das rechte Feld, die minimale y-Koordinate in das untere Feld und die maximale y-Koordinate in das obere Feld einzugeben. Nach Drücken des Knopfes Zeichnen wird das Vektorfeld gezeichnet. Danach können Sie durch Anklicken eines beliebigen Punktes im Vektorfeld die Lösungskurve durch diesen Punkt zeichnen lassen.
Autonome Differentialgleichung lösen
Unter der Registrierkarte Autonome DGL lösen können Sie eine
autonome Differentialgleichung eingeben und die Lösungskurve zeichnen lassen. Im
Unterschied zum Zeichnen der Lösungskurve im Vektorfeld wird hier nur jeweils
eine Lösungskurve gezeichnet. Dazu sind die Anfangswerte (x(0), y(0))
und das Integrationsintervall anzugeben. Um zu sehen, wie die
Differentialgleichung, die Anfangswerte und das Integrationsintervall eingegeben werden müssen, laden Sie einfach eines der gespeicherten Beispiele.
Nichtautonome Differentialgleichung lösen Unter der Registrierkarte Nicht Autonome DGL lösen können Sie eine nichtautonome Differentialgleichung eingeben und die Lösungskurve zeichnen lassen.
Die genaue Bedienungsweise entnehmen Sie bitte wieder einem der Beispiele. Achsen Mit den Optionen in der Registrierkarte Achsen haben sie die Möglichkeit, Skalierung und Aussehen der Achsen zu verändern.
Optionen
In der Registrierkarte Optionen können Sie Einstellungen zum numerischen Lösungsverfahren festlegen. Im Feld lokaler Fehler können Sie den gewünschten (geschätzten)
lokalen Fehler des Verfahrens einstellen. Mit aktivierter Option Dense Output
ist sichergestellt, dass die gezeichnete Kurve "glatt" ist. Ohne diese Option
kann es bei "einfachen" Differentialgleichungen passieren, dass die
Kurve eckig
wird, da das Lösungsverfahren versucht, immer eine möglichst große Schrittweite
zu verwenden. (Betrachten Sie z.B. die Lösungskurve der Differentialgleichnung x'(t) = t mit und ohne aktiviertem
dense output.) Verwendetes Lösungsverfahren Zur Berechnung der Lösung der Differentialgleichung wird ein Runge-Kutta-Verfahren der Ordnung 5 mit
einem eingebetten Verfahren der Ordnung 4 zur Steuerung der
Schrittweite verwendet. Die Schrittweite wird dabei so angepasst, dass der eingestelle lokale Fehler
möglichst nicht überschritten wird.
Ausgehend vom Startzeitpunkt wird jeweils maximal 2000 Schritte (in der Zeit) vorwärts und rückwarts integriert. Falls (um die Grenzen des Intergrationsintervalls zu erreichen)
diese maximale Anzahl überschritten oder die Schrittweite zu klein wird (bei "steifen" Differentialgleichungen), wird eine entsprechende Fehlermeldung ausgegeben. Fragen Falls Sie weitere Fragen zum Applet haben, uns Hinweise auf Fehler oder Kommentare zukommen lassen wollen, schreiben Sie uns bitte.
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