Satz (Folgenkriterium): $f$ ist genau dann an der Stelle $x$ stetig, wenn für jede Folge $\langle x_n\rangle$ von Elementen des
Definitionsbereichs, die
$$\lim_{n\to\infty}x_n=x$$
erfüllt, auch
$$\lim_{n\to\infty}f(x_n)=f(x)$$
gilt.
Beweis:
Sei $f$ an der Stelle $x$ stetig, und sei $\langle x_n\rangle$ eine gegen $x$ konvergierende Folge von
Elementen des Definitionsbereichs. Nun sei ein $\varepsilon>0$ vorgegeben. Dann gibt es nach der Definition der
Stetigkeit ein $\delta>0$, so dass für alle $x'$ mit $|x'-x|<\delta$ gilt: $|f(x')-f(x)|<\varepsilon$. Nach der Definition des
Grenzwerts einer Folge (wie im Kapitel Grenzprozesse besprochen)
gibt es ein $m\in\mathbb{N}$, so dass $|x_n-x|<\delta$ für alle $n\geq m$.
(Beachten Sie, dass $\delta$ hier die Rolle jener Zahl spielt, die in der üblichen Formulierung der Konvergenz mit $\varepsilon$
bezeichnet wird).
Dies hat wiederum (Definition der Stetigkeit) zur Folge, dass $|f(x_n)-f(x)|<\varepsilon$ für alle $n\geq m$.
Insgesamt gilt also: Für jedes $\varepsilon>0$ gibt es ein $m\in\mathbb{N}$, so dass für alle $n\geq m$
gilt: $|f(x_n)-f(x)|<\varepsilon$, was nichts anderes ist als die Aussage, dass
$$\lim_{n\to\infty}f(x_n)=f(x)\,{\sf\small.}$$
Sei umgekehrt das Folgenkriterium erfüllt, d.h. aus $x_n\to x$ folge stets $f(x_n)\to f(x)$.
Wir führen diesen Teil des Beweises indirekt [uuu]: Angenommen, $f$ ist an der Stelle $x$ nicht stetig. Die Negation der Aussage
"für jedes $\varepsilon>0$ gibt es ein $\delta>0$, so dass die Aussage $X$ gilt"
lautet:
"es gibt ein $\varepsilon>0$, so dass für alle $\delta>0$ die Aussage $X$ nicht gilt".
Das bedeutet: Es gibt ein $\varepsilon>0$, so dass es für jedes $\delta>0$ ein $x'$ gibt mit der Eigenschaft
$|x'-x|<\delta$, aber $|f(x')-f(x)|\geq\varepsilon$. Dieses $\varepsilon$ halten wir fest.
Für jede positive ganze Zahl $n$ setzen wir nun $\delta={1\over n}$
und $x_n=x'$. Für die so definierte Folge $\langle x_n\rangle$ gilt zweierlei:
Einerseits: Für jedes $n\in\mathbb{N}$ gilt $|x_n-x|<{1\over n}$, und daher konvergiert die Folge $\langle x_n\rangle$ gegen $x$.
Andererseits: Für jedes $n\in\mathbb{N}$ gilt $|f(x_n)-f(x)|\geq\varepsilon$, woraus folgt, dass die Folge
$\langle f(x_n)\rangle$ nicht gegen $f(x)$ konvergiert.
Das ist ein klarer Widerspruch zur Voraussetzung, womit bewiesen ist, dass $f$ an der Stelle $x$ stetig ist.