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Inverse einer $2\times 2$-Matrix
Um die Inverse einer allgemeinen invertierbaren $2\times 2$-Matrix
$$A=\left(\begin{array}{cc}
A_{11} & A_{12}\\
A_{21} & A_{22}
\end{array}\right)$$
zu berechnen, lösen wir das Gleichungssystem $Ax=c$ nach $x$ für einen allgemeinen Vektor $c$.
In Komponenten ausgeschrieben, lautet es:
\begin{eqnarray}
A_{11}x_1+A_{12}x_2 &=& c_1\quad&(I)&\\
A_{21}x_1+A_{22}x_2 &=& c_2\quad&(II)\,\sf{\small.}
\end{eqnarray}
Wir wählen das (im Kapitel über
Gleichungssysteme besprochene) Eliminationsverfahren, bilden die Kombinationen
$A_{22}(I)-A_{12}(II)$ und $-A_{21}(I)+A_{11}(II))$ und erhalten:
\begin{eqnarray}
\left(A_{11}A_{22}-A_{21}A_{12}\right)x_1 &=& A_{22}c_1-A_{12}c_2\\
\left(A_{11}A_{22}-A_{21}A_{12}\right)x_2 &=&-A_{21}c_1+A_{11}c_2\,\sf{\small.}
\end{eqnarray}
Nun benutzen wir die Tatsache, dass $A$ invertierbar ist, d.h. dass
die lineare Abhängigkeit $c=Ax$ umgekehrt werden kann. Es muss dann für jeden beliebigen
Vektor $c$ eine Lösung $x$ existieren. Wäre der Klammerausdruck, der auf den linken Seiten
erscheint, also $A_{11}A_{22}-A_{21}A_{12}$, gleich $0$,
so wäre die Existenz einer Lösung an Bedingungen
$A_{22}c_1-A_{12}c_2=0$ und $-A_{21}c_1+A_{11}c_2=0$ für die Komponenten von $c$ geknüpft.
(Lediglich wenn $A=0$ ist, sind diese Bedingungen für beliebige $c$ erfüllt, aber
die Nullmatrix ist sicher nicht invertierbar). Daraus folgt, dass
$$A_{11}A_{22}-A_{21}A_{12}\neq 0$$
gelten muss, und daher lautet die (eindeutige) Lösung
\begin{eqnarray}
x_1&=&{1\over A_{11}A_{22}-A_{21}A_{12}}\left(A_{22}c_1-A_{12}c_2\right)\\
x_2&=&{1\over A_{11}A_{22}-A_{21}A_{12}}\left(-A_{21}c_1+A_{11}c_2\right)\,\sf{\small,}
\end{eqnarray}
woraus wir die Komponenten der Inversen ablesen können:
$$A^{-1}={1\over A_{11}A_{22}-A_{12}A_{21}}\left(\begin{array}{cc}
A_{22} & -A_{12}\\
-A_{21} & A_{11}
\end{array}\right)\,{\sf\small.}$$
Damit ist die Inverse einer allgemeinen invertierbaren $2\times 2$-Matrix gefunden.
Der hier auftretende Nenner $A_{11}A_{22}-A_{12}A_{21}$ ist genau die Determinante von $A$.
Als Nebenprodukt unserer Argumentation erhalten wir somit das Ergebnis, dass $A$ genau dann
invertierbar ist, wenn $\det(A)\neq 0$ ist.