Beweis von (25) - Variablensubstitution im bestimmten Integral:
x2
u2
∫
f(x) dx
=
∫
f(x(u)) x'(u) du
x1
u1
(25)
Dabei sind die Grenzen x1 und
u1
(sowie x2 und
u2) einander entsprechende
Werte
(d.h. u1 = u(x1)
und u2 = u(x2)
oder, was dasselbe bedeutet,
x1 = x(u1)
und x2 = x(u2)).
Wir beweisen diese Aussage für den Fall, dass
f eine Stammfunktion
F besitzt (obwohl sie allgemeiner gilt):
Beweis:
Wir rechnen die rechte Seite von (25) genauer aus und zeigen, dass sie
gleich der linken Seite ist.
Da F ' = f,
ist der Integrand auf der rechten Seite von (25)
F '(x(u)) x'(u).
Nach der Kettenregel, die wir im Kapitel
Differenzieren 1
kennen gelernt haben, ist das aber genau
d
du
F(x(u)) .
Damit können wir die rechte Seite von (25) berechnen: