nml-Projekt Welcome Page   mathe online Welcome Page
 

Orthogonalität von Vektoren und orthonomierte Basen von Vektorräumen

 
Andreas Pester
Fachhochschule Techikum Kärnten, Villach
pester@cti.ac.at
 

Zusammenfassung: In diesem Abschnitt wir der Begriff der Orthogonalität und einer orthonormierten Basis erläutert

Stichworte: Defintion | Orthonormierte Basis | Theoreme

 
 
Definition


Zwei Vektoren u und v heißen orthogonal zu einander, wenn ihr Skalarprodukt u · v = 0  bzw. uT · v = 0 Null ist.

Zwei Unterräume  V und W des Vektorraumes heißen orthogonal zu einander, wenn jeder Vektor v aus V und jeder Vektor w aus W  orthogonal zu einander sind, d.h. ihr Skalarprodukt  v · w = 0  bzw. vT · w = 0  sind.


 

Beispiele:


  1. Die x,y-Ebene bildet einen Unteraum  V von R3 (zweidimesional), die z-Achse einen eindimesionalen Unterraum W. Das Skalarprodukt von beliebigen zwei Vektoren aus V bzw. W ist Null, da sie senkrecht zueinander stehen. D.h., die Unterräume V und W sind orthogonal zueinander.
  2. Die x,y-Ebene bildet einen Unteraum  V von R3 (zweidimesional), die x,z-Ebene bildet auch einen zweidimensionalen  Unterraum W . Es sieht so aus, als ob beide Unterräume ebenfalls orthogonal zu einander sind, aber das stimmt nicht . Der Vektor v = (1,1,0)T liegt in der x.y-Ebene, der Vektor w = (1,0,1)T liegt in der x,z-Ebene, aber ihr Skalarprodukt ist vT · w = 1 ist nicht Null. Das gleiche gilt für den Vektor (1,0,0), der sowohl in der x,y- als auch in der x,z-Ebene liegt und nicht orthogonal zu sich selbst ist.
  3. Wenn ein Vektor in zwei orthogonalen Unterräumen gleichzeitig enthalten ist, so muss er zu sich selbst orthogonal sein, d.h. v T· v = 0  bzw. v ·v = 0  . Das trifft auf den Nullvektor zu, der in jedem Unterraum enthalten ist. Der Vektor (0,0,0)T liegt z.B. in der x,y- und der x,z-Ebene.

 

Definition der Orthonormiertheit


Die Vektoren q1,q2, ...,qn sind orthonormiert wenn, folgende Bedingung erfüllt ist:

Eine Matrix mit orthonormalen Spalten wird mit Q bezeichnet und orthogonale Matrix genannt.


 

Theoreme


  • Für eine orthogonale Matrix gilt : QT·Q = I
  • Wenn Q orthonogonal ist , so lässt Abbildung Qx die Länge eines Vektors und das Skalarprodukt unverändert:
    • ||Qx||=||x|| für jeden Vektor x
    • (Qx)T·(Qy) = xT(QT· Q)y = xT·y

 

Beispiele:


  1. Die Rotationsmatrix D, die die Rotation eines Vektors in der Ebene um den Winkel f beschreibt, is eine orthogonale Matrix:

    somit gilt D·DT = 1. Die Spalten von D bilden eine orthonormale Basis für den R2 .
  2. Jede Permutationsmatrix ist orthogonal
  3. Die Reflexionsmatrix Q = I - 2u·uT ist orthogonal (und symmetrisch), wenn ||u||=1

Wie konstruiert man zu n linear unabhängigen Vektoren im Rn eine orthonormierte Basis ? → Gram-Schmidt-Prozess


 

nml-Projekt Welcome Page
Lernpfade des nml-Projekts
Materialien-Übersicht des nml-Projekts
mathe online Welcome Page

    Bundesministerium für Bildung, Wissenschaft und Kultur

   Finanziert mit
   Projektmitteln des bm:bwk