Gram-Schmidt-Prozess zur Konstruktion einer orthonormierten Basis Andreas Pester Fachhochschule Techikum Kärnten, Villach
pester@cti.ac.at Zusammenfassung: In diesem Abschnitt wird der Gram-Schmidt-Prozess zur Konstruktion einer orthonormierten Basis in einem Vektorraum erläutert. Er enthält einen Link zu einer Simulation zur Konstruktion einer orthonormierten Basis im R3

Gegeben seien drei linear unabhängige Vektoren a, b, c in R3 , gesucht sind drei orthonormierte Vektoren, A, B, C,  die eine orthonormierte Basis für R3 bilden.

Vorgehensweise:

  1. Es werden aus a,b,c drei orthogonale Vektoren konstruiert
  2. Danach werden diese Vektoren normiert

Verbale Beschreibung des Algorithmus:

  1. Man setzt a = A
  2. Man zerlegt b in seine Projektion auf A und den dazu ortogonalen Vektor. Dieser ist der gesuchte Vektor B, da er auch zu A orthogonal ist.
  3. Den Vektor c (der keine Kombination von a und b und damit von A und B ist) zerlegt man in seinen Anteil in der A,B-Ebene und dem dazu orthogonalen Anteil. Letzterer ist der gesucht Vektor C, da er ja zu A und zu B orthogonal ist.
  4. Man normiert die Ergebnisse und bildte q1 ,q2 ,q3

Formale Beschreibung des Algorithmus:

  1.  
 A = a
  1.  
  1.  
  1.  

Verallgemeinerung:

Hat man n linear unabhängige Vektoren im Rn , so wendet man den Algorithmus analog an, ein Vektor wird ausgesucht, der zweite in seine Projektionsteile zerlegt und der zum ersten Vektor orthogonale Teil als neuer Basisvektor gewählt, der nächste Vektor wird zu den ersten beiden orthgonal gewählt usw. Zum Schluss wird normiert.

Beispiel:

Simulation