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Unter Vektoren muss man nicht nur gerichtete Größen (wie in der Physik),
Pfeile (wie in der Geometrie), Spalten mit n Zeilen (wie in der linearen
Algebra) verstehen, dass können auch Matrizen, Funktionen und andere
mathematische Objekte sein.
Damit man nicht immer neu erklären muss, was man unter einem Vektor bzw.
einem Vektorraum zu verstehen hat, führt man einen allgemeinen Begriff ein (den
abstrakten Vektorraum) und erklärt danach, dass alle Objekte, für die die
Definition dieses Begriffs erfüllt ist, Vektoren im Sinne der Definition sind.
Dabei bedient man sich einer in der Mathematik sehr beliebten Methode, der
axiomatischen Methode.
Mittels der folgenden Regeln wird allgemein ein Vektorraum eingeführt und die
uns schon bekannten Vektorräume erfüllen diese Regeln; sie sind Modelle für das
abstrakte Axiomensystem:
Ein abstrakter Vektorraum V ist eine Menge von Objekten
x,y, ..., für die zwei Operationen, die Vektoraddtion x + y
und die Multiplikation mit einer skalaren Größe c·x erklärt sind,
die folgenden Bedingungen genügen:
- x + y = y + x (Kommutativität der Vektoraddition)
- x + (y + z) = (x + y) + z (Assoziativität der
Vektoraddition)
- Es existiert ein einziger Vektor 0 , so dass x + 0 = x
für alle x (neutrales Element)
- Für jeden Vektor x existiert ein eindeutig bestimmter Vektor
- x, so dass x + (-x) = 0 (neutrales Element)
- 1 · x = x (Multiplikation mit der skalaren Größe 1)
- (c1·c2)·x = c1·(c2·x
) (Assoziativität der Multiplikation)
- c·(x + y) = cx + cy
(Distributivität 1)
- (c1 + c2)·x = c1x
+ c2x (Distributivität 2)
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Weitere Modelle für den abstrakten Vektorraum
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- Es sei C1 der Raum der auf
R stetigen Funktionen. f(x), g(x) seien Elemente des Raumes. Unter f(x) + g(x)
soll die normale Addition von Funktionen verstanden werden, unter c·f(x) die
normale Multiplikation einer Funktion mit einer (reellen) Zahl.
Dann sind für diese Objekte alle acht Axiome erfüllt und sie bilden auch einen
abstrakten Vektorraum. Unter dem Skalarprodukt <f,g> von zwei Funktionen f(x)
und g(x) versteht man dann folgendes Integral:
Man spricht davon, dass zwei Funktionen orthogonal zueinander sind, wenn
ihr Skalarprodukt Null ist (das gilt z.B. für sin(x) und cos(x), wenn T = k·2p
ist ). Für solche Räume kann ebenfalls die Begriffe Basis, Dimension
(unendlich als Dimension), Abstand (Norm) usw. einführen.
- Ein besonders einfaches Beispiel sind die T-periodischen,
(stückweis)-stegigen Funktionen, für die die Basis die Funktionen {eikx}
für alle kÎZ
sind. Diese Funktionen bilden eine unendlich-dimensionale orthonormierte
Basis. Und jede T-periodische Funktion lässt sich als Linearkombination dieser
Funktionen darstellen:
Das sind trigonometrische Reihen, die für ganz bestimmte Koeffizienten ck
zu Fourier-Reihen werden.
- Verallgemeinerungen sind dann die Theorien der Hilbert-Räume, der
Euklidischen Räume, der metrischen Räume usw. .
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