Der abstrakte VektorraumAndreas Pester Fachhochschule Techikum Kärnten, Villach
pester@cti.ac.at Zusammenfassung: In diesem Abschnitt wird der Begriff des abstrakten Vektorraumes erklärt

Hauptseite

Stichworte: Einführung | Definition | Modelle

Unter Vektoren muss man nicht nur gerichtete Größen (wie in der Physik), Pfeile (wie in der Geometrie), Spalten mit n Zeilen (wie in der linearen Algebra) verstehen, dass können auch Matrizen, Funktionen und andere mathematische Objekte sein.

Damit man nicht immer neu erklären muss, was man unter einem Vektor bzw. einem Vektorraum zu verstehen hat, führt man einen allgemeinen Begriff ein (den abstrakten Vektorraum) und erklärt danach, dass alle Objekte, für die die Definition dieses Begriffs erfüllt ist, Vektoren im Sinne der Definition sind. Dabei bedient man sich einer in der Mathematik sehr beliebten Methode, der axiomatischen Methode.

Mittels der folgenden Regeln wird allgemein ein Vektorraum eingeführt und die uns schon bekannten Vektorräume erfüllen diese Regeln; sie sind Modelle für das abstrakte Axiomensystem:

Ein abstrakter Vektorraum V ist eine Menge von Objekten x,y, ..., für die zwei Operationen, die Vektoraddtion x + y und die Multiplikation mit einer skalaren Größe c·x erklärt sind, die folgenden Bedingungen genügen:

1. x + y = y + x (Kommutativität der Vektoraddition)
2. x + (y + z) = (x + y) + z (Assoziativität der Vektoraddition)
3. Es existiert ein einziger Vektor 0 , so dass x + 0 = x für alle x (neutrales Element)
4. Für jeden Vektor x existiert ein eindeutig bestimmter Vektor - x, so dass x + (-x) = 0 (neutrales Element)
5. 1 · x = x (Multiplikation mit der skalaren Größe 1)
6. (c₁·c₂)·x = c₁·(c₂·x ) (Assoziativität der Multiplikation)
7. c·(x + y) = cx + cy (Distributivität 1)
8. (c₁ + c₂)·x = c₁x + c₂x (Distributivität 2)

• Es sei C₁ der Raum der auf R stetigen Funktionen. f(x), g(x) seien Elemente des Raumes. Unter f(x) + g(x) soll die normale Addition von Funktionen verstanden werden, unter c·f(x) die normale Multiplikation einer Funktion mit einer (reellen) Zahl.
  Dann sind für diese Objekte alle acht Axiome erfüllt und sie bilden auch einen abstrakten Vektorraum. Unter dem Skalarprodukt <f,g> von zwei Funktionen f(x) und g(x) versteht man dann folgendes Integral:

 

Man spricht davon, dass zwei Funktionen orthogonal zueinander sind, wenn ihr Skalarprodukt Null ist (das gilt z.B. für sin(x) und cos(x), wenn T = k·2p ist ). Für solche Räume kann ebenfalls die Begriffe Basis, Dimension (unendlich als Dimension), Abstand (Norm) usw. einführen.

• Ein besonders einfaches Beispiel sind die T-periodischen, (stückweis)-stegigen Funktionen, für die die Basis die Funktionen {e^ikx} für alle kÎZ sind. Diese Funktionen bilden eine unendlich-dimensionale orthonormierte Basis. Und jede T-periodische Funktion lässt sich als Linearkombination dieser Funktionen darstellen:

Das sind trigonometrische Reihen, die für ganz bestimmte Koeffizienten c_k zu Fourier-Reihen werden.

• Verallgemeinerungen sind dann die Theorien der Hilbert-Räume, der Euklidischen Räume, der metrischen Räume usw. .