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1.1 Einleitung
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Im folgenden Kapitel wird Dir einiges schon bekannt vorkommen.
Wie so oft in der Mathematik baut nämlich auch das Thema der Winkelfunktionen am Einheitskreis auf bereits erarbeitetes Wissen auf.
Auch wenn Du meinst, dass Du über den Kreis bereits Bescheid weißt, solltest Du dieses Kapitel aufmerksam bearbeiten.
Schließlich könntest Du auch auf komplett neue Informationen treffen und Wiederholungen schaden ja bekanntlich auch nicht.
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1.2 Definition, Radius, Kreisbogen
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Abb. 1
In der hier eingefügten Grafik (Abb. 1) wollen wir nun einige wichtige Begriffe, die den Kreis betreffen, definieren:
Allgemeine Kreisdefinition:
Der Kreis ist die Menge aller Punkte P, die von einem festen Punkt M immer denselben Abstand r haben.
Der Punkt M wird Mittelpunkt des Kreises mit dem Radius r genannt.
Definition des Kreisbogens:
Der Kreisbogen ist ein Teil der gesamten Kreislinie, der von einem bestimmten Mittelpunktswinkel α abhängt.
Die Länge des Kreisbogens kann mithilfe des Umfangs berechnet werden. (siehe Punkt 1.4)
Aufgabenstellung:
Zeichne dir mit Zirkel und Geodreieck die Abb. 1 in dein Heft. Vergiss dabei bitte nicht auf die Beschriftung!
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1.3 Herleitung - Umfang eines Kreises
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Partnerarbeit: Herleitung der Formel für den Kreisumfang
Nehmt ein DIN-A4-Blatt und faltet dieses entlang der Seitenlänge an einer beliebigen Stelle. Wenn ihr nun das A4-Blatt wieder auffaltet, habt ihr eine schöne waagrechte Faltmarkierung.
Messt jetzt zuerst die Länge von einem Ende des Papiers bis zur Faltmarkierung ab und schreibt euch diese Länge auf.
Wenn ihr nun das Papier bis zur Faltmarkierung einmal aufrollt, erhaltet ihr einen Kegel, also einen Körper mit einem Kreis als Grundfläche.
Der Umfang dieses Kreises sollte nun die von euch zuvor abgemessene Länge haben. Überprüft, ob das auch stimmen kann.
Versucht nun möglichst genau auch den Durchmesser (doppelter Radius) des Kreises zu messen und dividiert dann die Länge des Umfangs durch den Durchmesser.
Notiert euch dieses Ergebnis.
Nun führt ihr die gleichen Schritte an einem neuen DIN-A4-Blatt noch einmal durch, jedoch verändert ihr die Länge des Kreisumfangs.
Was fällt euch auf, wenn ihr die beiden Ergebnisse miteinander vergleicht?
Welche Aussage könnt ihr somit über den Kreisumfang treffen?
Vergleicht eure Antwort mit den Informationen des folgenden Punkts 1.4!
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1.4 Kreisumfang und Länge des Keisbogens
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Umfang des Kreises:
Um den Umfang, also die Länge der Kreislinie, zu berechnen, benötigt man die sogenannte Kreiszahl Pi: π = 3,14159...
Sie ist für jeden beliebigen Kreis der Quotient (das Verhältnis) aus dem Umfang und dem Durchmesser. (siehe Versuch im Punkt 1.3)
Daraus ergibt sich die folgende Formel: U = 2 · r · π
Länge des Kreisbogens:
Mithilfe der Kreisumfang-Formel lässt sich die Länge des Kreisbogens leicht berechnen.
Bei einem Mittelpunktswinkel von α = 360° entspricht der Kreisbogen dem Umfang des Kreises, woraus sich für den Kreisbogen mit Mittelpunktswinkel α = 1° folgende Formel ergibt:
α = 1° 2 · r · π und somit für beliebige Winkel: α = x° 2 · r · π
b = - - - - - - - b = - - - - - - - · x
360 360
Nun kann man noch kürzen und erhält damit die Formel für die
Länge des Kreisbogens b mit dem Mittelpunktswinkel α:
r · π
b = - - - - - · α
180
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1.5 Das Bogenmaß
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Neben dem bekannten "Gradmaß" kann man Winkel auch mit dem sogenannten "Bogenmaß" angeben.
Das ist zwar eigentlich erst Stoff der 6. Klasse AHS, dieser Vorgriff hilft dir aber bestimmt weitere Inhalte des Lernpfades zu verstehen.
Das Bogenmaß ist definiert als das Verhältnis der Bogenlänge mit dem Radius eines Kreises und hat die Einheit "Radiant".
b
α = - - - ; [b / r] = rad
r
Besonders praktisch ist dies nun im Einheitskreis, also in einem Kreis mit Radius r = 1.
Hier folgt dann nämlich aus der "Bogenmaß-Formel" α = b , also kann man sagen:
Im Einheitskreis entspricht die Bogenlänge des Kreissektors dem Mittelpunktswinkel im Bogenmaß.
Überlege dir folgende Zusammenhänge ganz einfach selbst:
α = 90° ⇒ α = π/2 rad
α = 180° ⇒ α = π rad
α = 270° ⇒ α = 3·π/2 rad
α = 360° ⇒ α = 2·π rad
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