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4.1 Einleitung
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Eine weitere Form von quadratischen Funktionen sind Funktionen vom Typ f(x)=x²+px+q. Dieser Typ wird auch normierte quadratische Funktion genannt. Du erhältst diese Form indem du bei f(x)=ax²+bx+c einfach durch a dividierst. Der Vorteil dieser normierten Form ist die einfachere Berechnung der Nullstellen, da in der Lösungsformel kein Bruch mehr vorhanden ist. Jedoch solltest du die nicht normierte Form nicht immer normieren, manchmal jedoch bringt dir die Normierung ein wenig Erleichterung. Bei der Funktion f(x)=4x²+16x+32 beispielsweise kannst du vor der Nullstellenberechnung die Gleichung 0=4x²+16x+32 ohne Weiteres auf die Form 0=x²+4x+8 normieren.
Vorgriff, Eintrag in das Lerntagebuch
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4.2 Nullstellen
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Die ersten drei Punkte, die ich hier als verschiedene Fälle der Nullstellenberechnung aufzählen würde, decken sich mit jenen aus dem Unterpunkt "Nullstellen" aus Kapitel 3.2. Der einzige Unterschied liegt im Punkt 4.
4.
Die "kleine Lösungsformel" für Funktionen vom Typ f(x)=x²+px+q lautet:
Du kannst sie im Fall f(x)=x²-2x-3 anwenden.
p=(-2), q=(-3)
x1,2=1±√(1+3)
x1=3
x2=(-1)
Lernstoff, Eintrag in das Lerntagebuch
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4.3 Diskriminante
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Den Teil bei der großen Lösungsformel, der unter der Wurzel steht, also "(p/2)²-q" nennt man Diskriminante. Dieser Teil entscheidet im Wesentlichen, wie viele Lösungen die Gleichung und in weiterer Folge wie viele Nullstellen der Graph der Funktion hat.
Als Merksatz hierfür gilt:
Die Überlegungen hierzu ergeben sich aus der Tatsache, dass die Wurzel einer positiven reellen Zahl stets zwei Lösungen hat. Die Wurzel aus 0 hingegen ist immer 0 und die Wurzel aus einer negativen Zahl hat keine reelle Lösung.
Lernstoff
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4.4 Die Komponenten p,q
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Auch bei der normierten quadratischen Funktion haben die Komponenten p,q in f(x)=x²+px+q Auswirkungen auf den Graphen der Funktion. Bei der normierten Funktion kommt außerdem noch hinzu, dass der imaginäre 1er vor dem x² negativ oder positiv sein kann. Also -x²+2x+3 oder x²+2x+3. Gleich wie bei der nicht normierten Form ist auch hier die Parabel jeweils entweder nach unten oder nach oben geöffnet. Aber nun zurück zu p und q.
Das p in der Funktion übernimmt hier die Rolle des b in der nicht normierten Form und hängt gleich wie b vom Vorzeichen vor dem x² ab. Das q übernimmt die gleiche Funktion wie das c in der nicht normierten Fassung. Überlege dir nun wie die Regeln hier für p und q ausschauen und schreibe sie vollständig in dein "Lerntagebuch".
Lernstoff, Eintrag in das Lerntagebuch
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4.5 Die Satzgruppe von Vieta
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Diese Satzgruppe ist die einzige Eigenschaft bei der es keine Parallelen zu der nicht normierten Funktion gibt. Sie besteht aus drei Teilen und besagt Folgendes:
1. x1+x2=-p
2. x1*x2=q
3. x²+px+q=(x-x1)*(x-x2) dh. der gegebene Term lässt sich in ein Produkt aus Linearfaktoren zerfällen.
Lernstoff
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