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1.1 Verknüpfungen
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Gruppen, Körper und Vektorräume (vgl. unten) bestehen aus einer
Menge (mit Elementen)
samt Rechenoperationen, die besondere Eigenschaften haben.
Diese Rechenoperationen werden Verknüpfungen genannt.
Eine Verknüpfung verbindet zwei Elemente und macht ein neues aus ihnen.
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Bsp
die Menge = die ganzen Zahlen Z, + sei die übliche Addition.
Dann verknüpft + die Zahlen 1 und 2 und erzeugt so 3. Also: 1+2 = 3. |
D.h. (Innere) Verknüpfungen sind einfach nur Funktionen, die aus zwei Elementen einer Menge ein anderes Element dieser Menge erzeugen!
Allgemeiner:
M sei eine Menge. Eine Abbildung f von M × M (sprich: "M kreuz M") nach M heißt (innere) Verknüfpfung.
D.h: Ist a aus M und b aus M, so ist das Tupel (a,b) aus M × M. (vgl. sind x und y reelle Zahlen, so ist das Tupel ("Vektor") (x,y) aus R × R = R²).
Für eine Verknüpfung f gilt: f(a,b) = c, wobei c ein Element von M ist.
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Bsp
Nenne die Funktion "f" jetzt einfach einmal "+". Die Menge sei wieder die ganzen Zahlen Z.
+(a,b) := a + b (+ rechts neben dem Istgleichzeichen bezeichnet das übliche
Rechenzeichen-Plus der bekannten Addition)
d.h. durch die Funktion "+" werden die Elemente a und b addiert.
Die Summe zweier ganzer Zahlen ist wieder eine ganze Zahl.
Also ist "+" eine Verknüfung auf den ganzen Zahlen Z. |
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1.3 Def von Körper
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Ein Körper ist eine Menge K mit zwei (inneren) Verknüpfungen + und ·
, die besondere Eigenschaften haben.
(K,+) ist eine Abelsche Gruppe (vgl. oben).
Das neutrale Element e bzgl. + wird mit 0 bezeichnet.
+ nennt sich "additive" Verknüpfung bzw. Körper-Addition.
(K\{0},·) ist eine Abelsche Gruppe.
1 bezeichnet das neutrale Element dieser Körper-Multiplikation.
Weiters muss das Distribituvgesetz, das diese beiden Verknüpfungen verbindet,
erfüllt sein:
Für drei beliebige Skalare (=Elemente aus dem Körper)
a , b , g muss gelten:
a · ( b + g ) =
a · b + a · g
Das Tripel (K,+,·) heißt dann Körper.
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Aufgabe
Schreibe die obigen Aussagen in mathematischer Kurzschreibweise bzw.
wiederhole alle Defnitionen
(Quantoren, etc). |
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Bsp
Die reellen Zahlen mit der üblichen Addition und der üblichen Multiplikation
sind ein Körper.
Die Rechenregeln wurden bereits in der Schule
gelernt und werden automatisch, ohne nachzudenken verwendet.
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1.4 Def: Vektorraum
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Für einen Vektorraum benötigt man eine Menge V mit einer
additiven Verknüpfung Å:
(V,Å) muss eine abelsche Gruppe sein:
a.) Das Assoziativgesetz gilt.
b.) Der Nullvektor o ist das neutrale Element
c.) -v ist der inverse Vektor (bzgl. der Vektoraddition) zu v.
d.) Das Kommutativgesetz gilt.
Weiters benötigt man einen Körper (K,+,·) (vgl Definition oben).
0 sei das neutrale Element der Körperaddition.
- l sei das additiv inverse Elemnt zu l.
1 sei das neutrale Element der Körpermultiplikation
l-1 sei das multiplikativ Inverse zu l (ungleich 0).
Das Entscheidende ist nun, dass es eine Verknüpfung * (Funktion) gibt, die K mit V verbindet und
wieder in V hinein abbildet:
also : * : K × V ® V
Diese Verknüpfung wird "Multiplikation eines Vektors mit einem Skalar"
genannt und muss folgende Eigenschaften erfüllen:
1.)l*(a Å b) = l*a Å l*b
2.)(l + m) * a = l*a Å m*a
3.)l * (m *a) = (l · m) * a
4.)1*v = v für jeden Vektor v aus V.
Das Gebilde aus (V,K,*) heißt nun Vektorraum (kurz: VR).
Üblicherweise wird sowohl für die additive Verknüpfung von V als auch
von K das selbe Symbol + verwendet, abwohl es sich eigentlich um
verschiedene Verknüpfungen handelt.
Analog wird für jede der beiden Multiplikation der übliche Mal-Punkt
· verwendet.
Üblicherweise werden für die Skalare aus dem Körper griechische
Buchstaben verwendet, für die Vektoren die "normalen".
Ist K = R, so spricht man von einem reellen Vektorraum (VR über R),
ist K = C, so spricht man von einem komplexen Vektorraum (VR über C).
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