Die harmonische Schwingung

Lernpfad erstellt und betreut von:

Franz Embacher

E-mail: franz.embacher@univie.ac.at
Homepage: http://homepage.univie.ac.at/franz.embacher/
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Die harmonische Schwingung gehört zu den wichtigsten Modellen für Bewegungsverläufe, die die Physik kennt. In diesem Lernpfad kannst du die mathematische Beschreibung dieses Schwingungsform kennenlernen. Weiters erfährst du, warum die Winkelfunktionen Sinus und Cosinus nicht nur bei der Beschreibung von Dreiecken, sondern auch bei der Beschreibung von Bewegungen unentbehrlich sind.
  • (Mindest-)Voraussetzungen aus Mathematik: Winkel, Bogenmaß, Sinus eines Winkels im rechtwinkeligen Dreieck, Graph der Sinusfunktion. (Zum Nachlesen siehe etwa die Kapitel Winkelfunktionen und Funktionen 2 der Mathematischen Hintergründe).
  • (Mindest-)Voraussetzungen aus Physik: Winkelgeschwindigkeit
Beim Einsatz im Unterricht sollte vorab die Form der zu erbringenden Dokumentation mit den SchülerInnen vereinbart werden.
Dieser Lernpfad entstand in Kooperation mit Herbert Wieninger (BG/BRG Rahlgasse, 1060 Wien).
      
Hilfe
1. Definition der harmonischen Schwingung
Die harmonische Schwingung ist definiert als die durch den Schatten eines gleichförmig rotierenden Zeigers zustande kommende Bewegungsform. Das ist in der folgenden Animation illustriert:


Beobachte, wie der gelbe Punkt eine Schwingung ausführt. Im Folgenden kannst du lernen, wie diese Bewegungsform mathematisch beschrieben wird.
 
2. Beschriftung
Wir verwenden für die auftretenden Größen folgende Symbole:


A ... Länge des Zeigers. (Diese Größe wird auch die Amplitude der harmonischen Schwingung genannt).
ϕ ... (Momentaner) Winkel des Zeigers (im Bogenmaß).
x ... (Momentane) Position des schwingenden Punktes. (Diese Größe wird positiv oder negativ gesetzt, je nachdem, ob der Zeiger nach oben oder nach unten weist. Ihr Betrag ist gleich der Länge des Schattens. Sie wird auch die Elongation der harmonischen Schwingung genannt).
ω ... Winkelgeschwindigkeit der Rotation des Zeigers. (Diese Größe wird auch die Kreisfrequenz der harmonischen Schwingung genannt).

Wiederhole (aus dem Mathematikunterricht): Wie ist das Bogenmaß definiert? (Siehe dazu etwa den betreffenden Abschnitt im Kapitel Winkelfunktionen der Mathematischen Hintergründe).
Wiederhole (aus dem Physikunterricht): Was ist die Winkelgeschwindigkeit? In welchen Einheiten wird sie gemessen?
 
3. Berechnung von x aus ϕ
Berechne x aus einer beliebigen (momentanen) Zeigerstellung ϕ !
Wiederhole aus dem Mathematikunterricht: Wie ist der Sinus eines Winkels definiert? (Du kannst dazu das Kapitel Winkelfunktionen der Mathematischen Hintergründe benutzen).
 
4. Gleichförmige Rotation
Wie ändert sich der Winkel des Zeigers im Laufe der Zeit? Mit anderen Worten: Berechne die Funktion ϕ(t) !
Nimm der Einfachheit halber an, dass zur Zeit t = 0 der Winkel ebenfalls 0 ist, d.h. dass ϕ(0) = 0 gilt!
 
5. Berechnung des Bewegungsverlaufs x(t)
Nun berechne den Bewegungsverlauf x(t) der harmonischen Schwingung!
Mit dem Ergebnis des vorherigen Lernschritts solltest du das Resultat x(t) = A sin(ωt) erhalten! Diese Formel stellt eine mathematische Beschreibung der harmonischen Schwingung dar, die in der Physik eine wichtige Rolle spielt.
Mit diesem Applet kannst du den Zusammenhang zwischen der Kreisbewegung und dem Graphen der Sinusfunktion wiederholen.
 
6. Zusatzaufgabe: Allgemeine Formel
Die in den beiden vorangegangenen Lernschritten hergeleitete Formel ist nicht ganz allgemein, da sie ϕ(0) = 0 voraussetzt. Leite ϕ(t) und x(t) für den allgemeinen Fall her, dass der Winkel des Zeigers zur Zeit t = 0 gleich einem Wert ϕ0 ist (letztere Größe wird auch die Anfangsphase genannt).
Als Resultat solltest du x(t) = A sin(ωt + ϕ0) erhalten.
 
7. Zusatzaufgabe: Die Rolle des Cosinus
Falls der Zeiger zu Beginn der Bewegung genau nach oben zeigt:
  • Wie groß ist ϕ0?
  • Für dieses ϕ0 vereinfache die Formel x(t) = A sin(ωt + ϕ0) !
Benutze eine spezielle Beziehung zwischen der Sinus- und der Cosinusfunktion, die du im Kapitel Winkelfunktionen (allerdings im Gradmaß formuliert) nachlesen kannst!
Du solltest das Resultat x(t) = A cos(ωt) erhalten!
 
8. Graphische Darstellung des Bewegungsverlaufs
Das folgende Bild


zeigt den Bewegungsverlauf (für ϕ0 = 0) in graphischer Darstellung. Lege eine Skizze an und ergänze die fehlenden Achsenbeschriftungen!
Wiederhole (aus dem Mathematikunterricht) die Eigenschaften des Graphen der Sinusfunktion. (Einen Steckbrief der Sinusfunktion und ihres Graphen kannst du im Kapitel Funktionen 2 der Mathematischen Hintergründe nachlesen).
 
9. Periodendauer
Die Periodendauer (Schwingungsdauer) T der harmonischen Schwingung ist jene Zeitdauer, die während eines vollständigen Umlaufs des Zeigers vergeht. Sie hängt von der Kreisfrequenz ω ab. Bestimme sie!
(Sie ergibt sich unmittelbar aus den Ergebnissen des vorherigen Lernschritts).
 
10. Frequenz
Die Frequenz ν einer harmonischen Schwingung gibt die Zahl der Perioden (d.h. vollständigen Zeigerumläufe) pro Zeiteinheit an. Wie hängt sie mit der Periodendauer (und daher mit der Kreisfrequenz) zusammen?
 
11. Zusammenfassung
Stelle die dir am wichtigsten erscheinenden Formeln, die in diesem Lernpfad vorgekommen sind, zusammen und schreibe dazu, was sie bedeuten!
 
12. Nachbemerkung
Viele Bewegungen in der Natur lassen sich in guter Näherung als harmonische Schwingung beschreiben (z.B. die Schwingungen eines Federpendels um die Ruhelage). Den rotierenden Zeiger gibt es dabei natürlich nicht sind die oben hergeleiteten Formeln einmal bekannt, könnte man diese Hilfskonstruktion wieder vergessen (obwohl sie auch dann hilfreich ist).
 
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