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2.1 Mittelpunktsgleichung des Kreises
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Der Kreis ist die Menge aller Punkte, die von einem Mittelpunkt M den selben Abstand haben. Also in der Sprache der Mathematik formuliert:
k = {X | XM = r}
M: Mittelpunkt
r: Radius
d: Durchmesser (d = 2r)
Für einen Kreis, dessen Mittelpunkt im Koordinatenursprung (1. Hauptlage) liegt und die Koordinaten eines Punktes X(x|y), der auf dem Kreis liegt, gilt folgende Formel:
x2 + y2 = r2
Ansonsten gilt für den Mittelpunkt M(xM|yM) die allgemeine Formel
(x - xM)2 + (y - yM)2 = r2
AUFGABE 2.1
Löse mindestens jeweils zwei der folgenden Aufgaben im Schulübungsheft.
a) Ermittle die Gleichung der Kreise:
1. M(3/2), r = 5
2. M(-2/4), r = 3
3. M(3/-1), r = √10
4. M(-2/-2), P(5/1) auf k
5. M(5/10), P(3/7) auf k
6. M(4/2), k berührt y-Achse
7. M(5/-3), k berührt x-Achse
8. M(-3/-4), O(0/0) auf k
b) Berechne Mittelpunkt und Radius der folgenden Kreise:
1. k: x² + y² - 4x - 8y + 4 = 0
2. k: x² + y² - 10x + 6y - 2 = 0
3. k: x² + y² + 10x - 2y - 10 = 0
4. k: x² + y² + 6x - 16 = 0
5. k: x² + y² - 12y + 20 = 0
6. k: 3x² + 3y² - 60y + 57 = 0
7. k: x² + y² - 5x + 10y = 0
8. k: x² + y² - 3x - 5y - 4 = 0
Hilfreiche Tipps und Beispiele findest du unter diesem Link
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2.2 Mittelpunktsgleichung der Ellipse
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Die Ellipse besteht aus allen Punkten X, für die die Summe der Abstände von zwei festen Punkten - den Brennpunkten F1 und F2 - konstant ist. Mathematisch formuliert lautet die Definition folgendermaßen:
ell = {X | XF1 + XF2 = 2a}
A, B: Hauptscheitel
C, D: Nebenscheitel
F1, F2: Brennpunkte
2a: Hauptachse
2b: Nebenachse
e: Brennweite (lineare Exzentrizität)
Normalerweise wird (zumindest in der Schule) vorausgesetzt, dass die Ellipse entweder in
1. Hauptlage: Mittelpunkt im Koordinatenursprung, Hauptachse auf der x-Achse, oder in
2. Hauptlage: Mittelpunkt im Koordinatenursprung, Hauptachse auf der y-Achse, liegt.
Die Ellipsengleichung für die Koordinaten des Punktes X(x|y) lautet in 1. Hauptlage:
x2/a2 + y2/b2=1
(in 2. Hauptlage: x2/b2 + y2/a2=1)
Außerdem lässt sich die Exzentrizität e wie folgt berechnen:
e2 = a2 - b2
AUFGABE 2.2
Wie lauten die Gleichungen der folgenden Kegelschnitte in 1. Hauptlage? (Ohne Brüche! Löse mindestens zwei der Aufgaben im Schulübungsheft.)
a) ell: a = 5, b = 3
b) ell: a = 20, b = 5
c) ell: a = 10, e = 8
d) ell: a = 4, e = 2√2
e) ell: b = 5, e = 10
f) ell: b = 10, e = 5√5
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2.3 Mittelpunktsgleichung der Hyperbel
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Die Hyperbel besteht aus allen Punkten, für die die Differenz der Abstände von den Brennpunkten konstant ist. Mathematisch ausgedrückt:
hyp = {X | |XF1 - XF2| = 2a}
Sie besteht aus zwei Ästen und besitzt zwei Asymptoten u und v.
A, B: Hauptscheitel
C, D: Nebenscheitel
F1, F2: Brennpunkte
2a: Hauptachse
2b: Nebenachse
e: Brennweite (lineare Exzentrizität)
u, v: Asymptoten
Bei einer gleichseitigen Hyperbel ist a = b.
1. und 2. Hauptlage definiert man wie bei der Ellipse.
Die Hyperbelgleichung für die Koordinaten des Punktes X(x|y) lautet in 1. Hauptlage:
x2/a2 - y2/b2=1
(in 2. Hauptlage: -x2/b2 + y2/a2=1)
Außerdem ist die Gleichung der Asymptoten(in 1. Hauptlage):
y = ±xb/a
AUFGABE 2.3
Wie lauten die Gleichungen der folgenden Kegelschnitte in 1. Hauptlage? (Ohne Brüche! Löse mindestens zwei der Aufgaben im Schulübungsheft.)
a) hyp: a = 3, b = 4
b) hyp: a = 5, b = 5
c) hyp: a = 4, e = 5
d) hyp: a = 4, e = 6
e) hyp: b = 8, e = 10
f) hyp: b = 3√3, e = 9
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