Potenz- und Wurzelfunktionen

Übersicht:

Hilfe

1. Grundlegendes
2. Exponent mit natürlichen Zahlen
3. Exponent mit ganzen Zahlen
4. Die Wurzelfunktion (Exponent ist rational)
5. Potenzen und Wurzeln von Polynomen
6. Abschlusstest

Exponent mit ganzen Zahlen

3.1
Definition:

Als erstes beginnen wir dieses Kapitel wieder mit einer Definition:

(1)

a⁰ = 1 für a aus den reellen Zahlen ohne der Null.

(2)

www.mathematik.net

für a aus den reellen Zahlen ohne der Null und b aus den natülichen Zahlen.

Diese Definition haben wir schon im Kapitel über die Gleitkommadarstellung unbewusst benutzt. Zur Erinnerung:

Dort war auch schon 10^-3 = 1/10³ = 1/1000 = 0,001

Lernstoff

3.2 Rechenregeln:
Durch die obige Definition 3.1 gelten die bereits vorher im Kapitel 2 definierten Rechenregeln auch für r, s aus den ganzen Zahlen: (1) a^r · a^s = a^{r + s} (2) a^r / a^s = a^{r - s} (3) (a · b)^r = a^r · b^r (4) (a / b)^r = a^r / b^r mit b ungleich 0 (5) ( a^r )^s = a^{r · s} Lernstoff

3.3
Definition der Potenzfunktion:

Als erstes beginnen wir wieder mit der Definition der Potenzfunktion:

Jedem x aus den reellen Zahlen wird durch die Rechenanweisung x^r genau ein Wert y aus den reellen Zahlen zugewiesen.

Das bedeutet nun formal:

Eine Funktion der Form f: R —> R bzw. R\{0} —> R , mit f(x) = x^r heißt Potenzfunktion.

wobei r aus den ganzen Zahlen ist und festgehalten wird. Nur x nimmt jeden Wert aus R bzw. R\{0}, wenn der Exponent negativ ist, an.

Lernstoff

3.4 Graphen von Potenzfunktionen mit geraden Exponenten: http://www.mathe-online.at/materialien/Wolfgang.Schaeffer/files/ Potenz-_und_Wurzelfunktionen/Potenzen_gerade.png
Schaubild

3.5 Graphen von Potenzfunktionen mit ungeraden Exponenten: http://www.mathe-online.at/materialien/Wolfgang.Schaeffer/files/ Potenz-_und_Wurzelfunktionen/Potenzen_ungerade.png
Schaubild

3.6 Graphen von Potenzfunktionen mit negativem geraden Exponenten: http://www.mathe-online.at/materialien/Wolfgang.Schaeffer/files/ Potenz-_und_Wurzelfunktionen/Potenzen_negativ_gerade.png
Schaubild

3.7 Graphen von Potenzfunktionen mit negativem ungeraden Exponenten: http://www.mathe-online.at/materialien/Wolfgang.Schaeffer/files/ Potenz-_und_Wurzelfunktionen/Potenzen_negativ_ungerade.png
Schaubild

3.8
Eigenschaften der Graphen:

Wenn du jetzt die obigen Funktionen genau betrachtet hast kannst du einige Eigenschaften beobachten:

(1)

Die Graphen von Potenzfunktionen mit geraden Exponenten sind symmetrisch zur y-Achse und f(x) = y ist immer größer oder gleich Null.

(2)

Die Graphen von Potenzfunktionen mit ungeraden Exponenten sind punktsymmetrisch.

(3)

Die Graphen von Potenzfunktionen mit negativem geraden Exponenten sind symmetrisch zur y-Achse und f(x) = y ist immer größer Null. Die x-Achse und die y-Achse sind Asymptoten dieser Funktionen.

(4)

Die Graphen von Potenzfunktionen mit negativem ungeraden Exponenten sind punktsymmetrisch. Auch hier bilden die x-Achse und die y-Achse Asymptotetn der Funktionen.

Vertiefung

3.9
Übung:

Betrachte die Graphen der Potenzfunktionen oben und unterscheide wieder in die 4 Gruppen. Welche Eigenschaften fallen dir noch auf?
Achte auf Nullstellen, Minima und Maxima und Monotonie (hier musst du meist zwischen x < 0 und x > 0 unterscheiden).

Weiters möchte ich noch von dir wissen, wie sich die Graphen der folgenden Funktionen unterscheiden:

An welcher Achse wird der Graph von f(x) = x² gespiegelt damit der Graph f(x) = - x² entsteht?
An welcher Achse wird der Graph von f(x) = x³ gespiegelt damit der Graph f(x) = - x³ entsteht?
An welcher Achse wird der Graph von f(x) = x^-1 gespiegelt damit der Graph f(x) = - x^-1 entsteht?
An welcher Achse wird der Graph von f(x) = x^-2 gespiegelt damit der Graph f(x) = - x^-2 entsteht?

Kann man aus diesen Beobachtungen wieder eine Aussage für die 4 Gruppen machen?

Schreibe die Antworten dieser Fragen in dein Übungsheft.

Übungsaufgaben

3.10 Ordne den Graphen die richtigen Funktionen zu: http://www.mathe-online.at/materialien/Wolfgang.Schaeffer/files/ Potenz-_und_Wurzelfunktionen/Funktionen_zuordnen_neu.htm

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