4.1 Zahlenrätsel - Musterbeispiele und Denkanstöße
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Beispiel 1:
Die Summer zweier Zahlen ist 20.
Das Doppelte der einen Zahl ist gleich dem 3-fachen der anderen Zahl.
Wie heißen die beiden Zahlen?
Wir bezeichnen die Zahlen mit x und y:
1. Beziehung = Gleichung I: x + y = 20
2. Beziehung = Gleichung II: 2x = 3y
Wir formen die erste Gleichung um und verwenden das Einsetzungsverfahren:
I: x = 20 - y
I in II einsetzen: 2*(20 - y) = 3y
Nach dem Lösen dieser Gleichung erhalten wir: y = 8
Wir setzen y in die erste Gleichung ein: x = 12
Probe: I: 12 + 8 = 20 -> wahr!
II: 2*12 = 3*8 -> wahr!
Anwort: Die Zahlen x = 12 und y = 8 sind die Lösungen des Gleichungssstems.
Beispiel 2:
Zwei Zahlen verhalten sich wie 2:3.
Subtrahiert man von jeder Zahl 6, so verhalten sich die neuen Zahlen wie 1:2.
Wie heißen die beiden Zahlen?
Wir bezeichnen die Zahlen mit x und y:
1. Bedingung: I: x:y = 2:3 -> 3x = 2y
2. Bedingung: II: (x - 6):(y - 6) = 1:2 -> 2*(x - 6) = y - 6
Nun muss man das Gleichungssystem nur mehr lösen!
Lernstoff
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4.3 Gleichungen aus der Geometrie - Musterbeispiele und Denkanstöße
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Beispiel 1:
In einem gleichschenkeligen Dreieck ist der Basiswinkel α
doppelt so groß wie der Scheitelwinkel γ.
Berechne die Größe der Winkel im Dreieck!
1. Bedingung:
Die Winkelsumme in einem Dreieck ist immer 180°!
=> I: 2α + γ = 180
2. Bedingung:
=> II: α = 2γ
Die Variablen in diesem Gleichungssystem heißen nun α und γ.
Das Gleichungssystem kann auf gewohnte Art und Weise gelöst werden!
Beispiel 2:
Verlängert man die längere Seite eines Rechtecks um 4cm und die kürzere Seite um 2cm,
so wächst der Flächeninhalt um 64cm².
Verlängert man aber die längere Seite des Rechtecks um 8cm und die kürzere um 3cm,
so wächst der Flächeninhalt um 124cm².
Berechne die Seitenlängen des Rechtecks!
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Basisrechteck |
Rechteck 1 |
Rechteck 2 |
Länge: |
x |
x + 4 |
x + 8 |
Breite: |
y |
y + 2 |
y + 3 |
Flächeninhalt: |
A0=x*y |
A1=(x+4)*(y+2) |
A2=(x+8)*(y+3) |
Aus dem Angabentext lesen wir, dass A1 um 64cm² größer ist als A0.
Gibt man also zu A0 64cm² dazu, sind beide Rechtecke gleich groß:
=> I: A0 + 64 = A1
I: x*y + 64 = (x+4)*(y+2)
Außerdem wissen wir aus der Angabe, dass A2 um 124cm² größer als A0 ist:
=> II: A0 + 124 = A2
II: x*y + 124 = (x+8)*(y+3)
Und so erhalten wir ein Gleichungssystem mit 2 Variablen, dass wir wieder
wie gewohnt lösen können!
Lernstoff
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4.5 Gleichungen aus dem Alltag - Musterbeispiele und Denkanstöße
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Beispiel 1:
Max möchte wissen, wie viel Geld seine Schwester Claudia in ihrem Sparschwein hat!
Claudia sagt: ,,Wenn ich dir 1€ gebe, dann haben wir beide gleich viel. Wenn du
mir 1€ gibst, dann habe ich doppelt so viel wie du!''
Wie viel Geld hat Claudia und wie viel Geld hat Max?
jetzt |
I: Claudia gibt Max 1€ |
II: Max gibt Claudia 1€ |
Claudia: c |
c - 1 |
c + 1 |
Max: m |
m + 1 |
m - 1 |
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beide haben gleich viel:
c - 1 = m + 1
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Claudia hat doppelt so viel wie Max:
c + 1 = 2*(m - 1)
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Das Gleichungssystem lautet also:
I: c - 1 = m + 1
II: c + 1 = 2*(m - 1)
Beispiel 2:
Auf einem Bauernhof gibt es Hühner und Kaninchen mit zusammen 25 Köpfen und 68 Beinen.
Wie viele Hühner und wie viele Kaninchen gibt es?
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Köpfe: |
Beine: |
Anzahl der Hühner: h |
h |
2h |
Anzahl der Kaninchen: k |
k |
4k |
zusammen: |
h + k |
2h + 4k |
Das Gleichungssystem lautet also:
I: h + k = 25
II: 2h + 4k = 68
Lernstoff
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