Lineare Gleichungssysteme mit 2 Variablen

Lernpfad erstellt und betreut von:

Jasmin Passath

E-mail: passath@student.tugraz.at
Steckbrief
Kurs-Informationen
Ansicht mit Navigations-Frame
Lernpfadseite als User öffnen (Login)
Lernpfadseite bearbeiten (Autor)

Übersicht:       
Hilfe
1. Was ist ein lineares Gleichungssystem mit 2 Variablen?
2. grafisches Lösungsverfahren
3. rechnerische Lösungsverfahren
4. Anwendung des Lösens von Gleichungssystemen (Textaufgaben)

Anwendung des Lösens von Gleichungssystemen (Textaufgaben)
 
4.1 Zahlenrätsel - Musterbeispiele und Denkanstöße
Beispiel 1:
    Die Summer zweier Zahlen ist 20. 
    Das Doppelte der einen Zahl ist gleich dem 3-fachen der anderen Zahl.
    Wie heißen die beiden Zahlen?

Wir bezeichnen die Zahlen mit x und y:
1. Beziehung = Gleichung I:  x + y = 20
2. Beziehung = Gleichung II: 2x = 3y

Wir formen die erste Gleichung um und verwenden das Einsetzungsverfahren:
I: x = 20 - y
I in II einsetzen: 2*(20 - y) = 3y
Nach dem Lösen dieser Gleichung erhalten wir: y = 8
Wir setzen y in die erste Gleichung ein: x = 12

Probe: I: 12 + 8 = 20  -> wahr!
      II: 2*12 = 3*8   -> wahr!

Anwort: Die Zahlen x = 12 und y = 8 sind die Lösungen des Gleichungssstems.


Beispiel 2:
    Zwei Zahlen verhalten sich wie 2:3. 
    Subtrahiert man von jeder Zahl 6, so verhalten sich die neuen Zahlen wie 1:2.
    Wie heißen die beiden Zahlen?

Wir bezeichnen die Zahlen mit x und y:
1. Bedingung:  I: x:y = 2:3             ->   3x = 2y
2. Bedingung: II: (x - 6):(y - 6) = 1:2 ->   2*(x - 6) = y - 6

Nun muss man das Gleichungssystem nur mehr lösen! 





Lernstoff
 
4.2 Zahlenrätsel
http://www.mathe-online.at/materialien/Jasmin.Passath/files/
   lineare_Gleichungssysteme_mit_2_Variablen/Zahlenraetsel.htm

Übungsaufgaben
 
4.3 Gleichungen aus der Geometrie - Musterbeispiele und Denkanstöße
Beispiel 1:
    In einem gleichschenkeligen Dreieck ist der Basiswinkel α 
    doppelt so groß wie der Scheitelwinkel γ.
    Berechne die Größe der Winkel im Dreieck!



1. Bedingung:
Die Winkelsumme in einem Dreieck ist immer 180°!
   =>  I: 2α + γ = 180

2. Bedingung:
   => II: α = 2γ

Die Variablen in diesem Gleichungssystem heißen nun α und γ.
Das Gleichungssystem kann auf gewohnte Art und Weise gelöst werden!


Beispiel 2:
    Verlängert man die längere Seite eines Rechtecks um 4cm und die kürzere Seite um 2cm,
    so wächst der Flächeninhalt um 64cm².
    Verlängert man aber die längere Seite des Rechtecks um 8cm und die kürzere um 3cm,
    so wächst der Flächeninhalt um 124cm².
    Berechne die Seitenlängen des Rechtecks!

Basisrechteck Rechteck 1 Rechteck 2
Länge: x x + 4 x + 8
Breite: y y + 2 y + 3
Flächeninhalt: A0=x*y A1=(x+4)*(y+2) A2=(x+8)*(y+3)
Aus dem Angabentext lesen wir, dass A1 um 64cm² größer ist als A0. Gibt man also zu A0 64cm² dazu, sind beide Rechtecke gleich groß: => I: A0 + 64 = A1 I: x*y + 64 = (x+4)*(y+2) Außerdem wissen wir aus der Angabe, dass A2 um 124cm² größer als A0 ist: => II: A0 + 124 = A2 II: x*y + 124 = (x+8)*(y+3) Und so erhalten wir ein Gleichungssystem mit 2 Variablen, dass wir wieder wie gewohnt lösen können!

Lernstoff
 
4.4 Gleichungen aus der Geometrie
http://www.mathe-online.at/materialien/Jasmin.Passath/files/
   lineare_Gleichungssysteme_mit_2_Variablen/Geometrie.htm

Übungsaufgaben
 
4.5 Gleichungen aus dem Alltag - Musterbeispiele und Denkanstöße
Beispiel 1:
    Max möchte wissen, wie viel Geld seine Schwester Claudia in ihrem Sparschwein hat!
    Claudia sagt: ,,Wenn ich dir 1€ gebe, dann haben wir beide gleich viel. Wenn du 
    mir 1€ gibst, dann habe ich doppelt so viel wie du!''
    Wie viel Geld hat Claudia und wie viel Geld hat Max?

jetzt I: Claudia gibt Max 1€ II: Max gibt Claudia 1€
Claudia: c c - 1 c + 1
Max: m m + 1 m - 1
beide haben gleich viel: 
c - 1 = m + 1
Claudia hat doppelt so viel wie Max: 
c + 1 = 2*(m - 1)
Das Gleichungssystem lautet also: I: c - 1 = m + 1 II: c + 1 = 2*(m - 1) Beispiel 2: Auf einem Bauernhof gibt es Hühner und Kaninchen mit zusammen 25 Köpfen und 68 Beinen. Wie viele Hühner und wie viele Kaninchen gibt es?
Köpfe: Beine:
Anzahl der Hühner: h h 2h
Anzahl der Kaninchen: k k 4k
zusammen: h + k 2h + 4k
Das Gleichungssystem lautet also: I: h + k = 25 II: 2h + 4k = 68

Lernstoff
 
4.6 Gleichungen aus dem Alltag
http://www.mathe-online.at/materialien/Jasmin.Passath/files/
   lineare_Gleichungssysteme_mit_2_Variablen/Alltag.htm

Übungsaufgaben
 
Lernpfadseite als User öffnen (Login)

Falls Sie noch kein registrierter User sind, können Sie sich einen neuen Zugang anlegen. Als registrierter User können Sie ein persönliches Lerntagebuch zu diesem Lernpfad anlegen.

 Zur Galerie
 Zu den Mathematischen Hintergründen
 Zum Lexikon
 Zu den interaktiven Tests
 Zu den Mathe-Links und Online-Werkzeugen
 Zur Welcome Page
   Übersicht über die Lernpfade
 Open Studio Materialien
 Open Studio Eingang
 Neuen Zugang anlegen
 Login