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2.1 Wichtige Eigenschaften
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- Gebrochen rationale Funktionen sind Funktionen, deren Funktionsterm ein Bruchterm ist.
(Zur Erklärung: Bruchterme sind Brüche bei denen eine Variable im Nenner auftritt)
- Alle Zahlen, für die der Nenner null wird, können nicht zur Definitionsmenge der Funktion gehören. Diese Stellen nennt man auch „Definitionslücken“.
- Eine Gerade, der sich der Graph einer Funktion beliebig annähert, nennt man „Asymptote“.
Man unterscheidet zwischen waagrechten und senkrechten Asymptoten.
- Eine Stelle, bei der der Graph eine senkrechte Asymptote aufweist, nennt man auch „Polstelle“.
- Manche Funktionen haben auch so genannte „schräge Asymptoten“.
- Zum Ableiten einer gebrochen rationalen Funktion brauchen wir die Quotientenregel.
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Kreuzworträtsel
Zuordnungsübung
Lernstoff
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2.2 Durchgerechnetes Beispiel einer Kurvendiskussion
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Kurvendiskussion der gebrochen rationalen Funktion f:
f(x) = x² / ( x+1 )
- Definitionsmenge:
- Wann ist der Nenner = 0?
x + 1 = 0 ⇔ x= -1
Somit ergibt sich für die Definitionsmenge: D = R\{-1}
- Verhalten der Definitionslücke
Beim Einsetzen von -1 in das Bildungsgesetz wird der Nenner = 0, der Zähler = 1.
Daher befindet sich bei x= -1 eine Polstelle (= senkrechte Asymptote) die von der Funktion angenähert wird.
- Schräge Asymptote:
Wir erhalten die schräge Asymptote durch ausführen der Polynomdivision:
x² : (x+1) = x-1 mit Rest r=1
Das heißt, die schräge Asymptote hat die Darstellung y = x-1.
- Nullstellen bestimmen:
Wir setzen die Funktion f(x) = 0.
Das heißt: x² / ( x+1 ) = 0
⇔ x² = 0
⇔ x = 0
Das heißt die Funktion hat eine Nullstelle im Punkt N(0/0)
- Extremwerte bestimmen:
Wir setzen die erste Ableitung der Funktion f'(x) = 0.
Das heißt: (x²+2x) / (x+1)² = 0
Das gilt genau dann wenn: x² + 2x = 0
⇔ x (x+ 2) = 0
Wir erhalten also durch den Produkt-Null-Satz folgende Ergebnisse für x:
x1 = 0
x2 = -2
Durch Rückeinsetzen in die Funktion f(x), erhalten wir folgende Extrema:
E1 = (0/0)
E2 = (-2 / -4)
Um zu sehen ob diese Hoch- oder Tiefpunkte sind, setzen wir nun in die 2. Ableitung von f ein.
f''(x) = 2 / (x+3)³
f''(0) = 2 > 0 ⇒ T(0/0) ist ein Tiefpunkt
f''(-2) = -2 < 0 ⇒ H(-2/-4) ist ein Hochpunkt
- Wendepunkte bestimmen:
Wir setzen die zweite Ableitung f''(x) = 0.
Das heißt: 2 / (x+3)³ = 0
⇔ 2 = 0 ⇒ FALSCHE AUSSAGE
Die Funktion enthält also keine Wendepunkte.
- Tangentensteigungen:
Wir setzen die x-Werte der Nullstell in die erste Ableitung von f ein.
f'(0) = 0
- Graph zeichnen:
- Monotonieverhalten:
Die Funktion f ist monoton steigend im Intervall: (-∞ ; -2) und (0 ; ∞)
Die Funktion f inst monoton fallend im Intervall: (-2 ; 0)
- Krümmungsverhalten:
Die Funktion f ist positiv gekrümmt im Intervall: (-2 ; ∞)
Die Funktion f ist negativ gekrümmt im Intervall: (-∞ ; -2)
- Symmetrie:
Die Funktion ist nicht Achsen-symmetrisch, da nicht für alle x aus dem Definitionsbereich gilt:
f(x) = f(-x).
Beweis:
Wähle x = 2
f(2) = 1,333333333
f(-2) = 4
- Asymptotisches Verhalten:
Wie verhält sich die Funktion im Unendlichen?
lim (x→ ∞) (x² / ( x+1 )) = "[∞ / ∞]" → das ist nicht definiert.
⇒ durch die Anwendung des Satz von l'Hospital erhalten wir:
lim (x→ ∞ )2x / (1) = +∞
Das heißt, je größer die x-Werte, desto größer auch ihr Funktionswert.
lim (x→ -∞)(x² / ( x+1 )) = "[∞ /- ∞]" → das ist nicht definiert.
⇒ durch die Anwendung des Satz von l'Hospital erhalten wir:
lim (x→ -∞ )2x / 1 = -∞
Das heißt je kleiner die x-Werte, desto kleiner auch ihr Funktionswert.
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2.3 Übungsbeispiel: Kurvendiskussion einer gebrochen rationalen Funktion
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Nun seid ihr an der Reihe!
Führt eine vollständige Kurvendiskussion der Funktion
f(x) = (x² − 3x − 4 ) / (x+2)
durch.
Bitte ladet euer Ergebnis auf der vorbereiteten Moodle Platform "3.Einheit" hoch.
Hier
kommt ihr direkt dort hin!
Gutes Gelingen! :)
Hausaufgabe
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