Man betrachte folgende allgemeine Ausgangssituation:
Es existiert zum Zeitpunkit ein Startkapital,
welches wir mit bezeichnen und eine jährliche
Verzinsungsrate von .
Ein Jahr später, zum Zeitpunkt berechnet sich
das Gesamtkapital mithilfe folgender Gleichung:
Um diese Formel etwas zu vereinfachen, dh. um sich eine Addition zu ersparen, wird ein Wachstumsfaktor eingeführt. Somit ergibt sich folgende Äquivalenz:
Aus der Gleichheit beider Formeln lässt sich somit
herleiten:
Zum Zeitpunkt berechnet sich das Gesamtkapital
folgendermaßen, wenn wir verwenden:
Im Zeitpunkt :
Betrachtet man nun diese 3 Berechnungen, so lässt sich ein Muster für die Berechnung des Gesamtkapitals in
einem beliebigen Zeitpunkt erkennen:
Verwendet man nun diese Rekursionsformel, so erhält man eine allgemeingültige Funktion, mit welcher
prinzipiell jeder exponentielle Wachstums- und Abnahmeprozess beschrieben werden kann.
kennzeichnet den Wachstumsfaktor, der je nach seinem Wert
einen Wachstums- oder Abnahmeprozess beschreibt. Sei eine
Exponentialfunktion der Form: ,
dann gilt folgende Definition:
![a \: \hat{=} \begin{cases} exponentiellem \:
Wachstum &\mbox{falls } a > 1 \\ exponentieller \: Abnahme & \mbox{falls } a < 1 \\ konstanter
Funktion & \mbox{falls } a = 1.\end{cases}](http://latex.codecogs.com/gif.latex?E \: \hat{=} \begin{cases} \mbox{exponentiellem Wachstum}
&\mbox{falls } a > 1 \\ \mbox{exponentieller Abnahme} & \mbox{falls } a < 1 \\ \mbox{konstanter
Funktion} & \mbox{falls } a = 1.\end{cases})
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