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Zur
Definition der Ableitung |
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Java-Applet |
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Das
Applet stellt den Anstieg der Tangente an den Graphen
einer Funktion in einem dynamischen Diagramm dar. Auf
diese Weise können die wichtigsten Begriffe der
Kurvendiskussion eingeübt werden, noch bevor Berechnung
von und formale Manipulation mit Ableitungen bekannt
sind. Notwendige Vorkenntnisse: Anstieg einer Geraden
und Graph einer Funktion (siehe die beiden Applets Der
Anstieg einer Geraden und Funktion
und Funktionsgraph). |
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Ableitungs-Puzzle
1 |
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Java-Applet |
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In
diesem und den nächsten zwei Applets sollen vorgegebene
Funktionsgraphen − in Form
von Puzzles −
so plaziert werden, daß unterhalb des Graphen
jeder Funktion der Graph ihrer Ableitung steht. Bei
Nicht-Gelingen erscheint auf Wunsch ein Text, der begründet,
warum die getroffene Plazierung nicht richtig sein kann.
Die Applets sollen das Verständnis des Differenzierens
als Übergang von einer Funktion zu einer anderen
festigen. Das erste ist relativ leicht zu lösen,
da es nur Polynomfunktionen enthält.
Querverweis: Unter den interaktiven Tests steht
das große
Ableitungspuzzle zur Verfügung. Es wählt
Funktionen zufällig aus einem großen Vorrat
und bewertet Ihren Erfolg mit Punkten. |
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Ableitungs-Puzzle
2 |
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Java-Applet |
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Dieses
Puzzle ist ein bisschen schwieriger als das erste. Es
enthält Funktionen mit Singularitäten und
Asymptoten. |
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Ableitungs-Puzzle
3 |
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Java-Applet |
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Nicht
ganz leicht ist auch dieses Puzzle. Es enthält
sinusförmige Funktionen. |
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Die
Ableitung als Grenzwert |
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Flash-Animation |
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Diese
Animation veranschaulicht den Grenzübergang Sekante
→ Tangente und das Zustandekommen
der Formel
f '(x0)
= |
lim
h →
0
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f(x0 +
h) −
f(x0)
h
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für die Ableitung einer Funktion f
an der Stelle x0. |
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Erste
und zweite Ableitung |
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Java-Applet |
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Dieses
Applet hilft, die zweite Ableitung (die Änderungsrate
der Änderungsrate) einer Funktion zu verstehen.
Es zeigt die Graphen von Funktionen vom Typ f(x)
= a x3
+ b x2
+ c x
+ d, zusammen mit ihren ersten
zwei Ableitungen. Dabei können die Parameter
a, b,
c
und d
mit Hilfe von Schiebereglern eingestellt werden. Damit
lassen sich Zusammenhänge zwischen den Eigenschaften
der drei Graphen (hinsichtlich Nullstellen, Extrema,
d.h. Minima und Maxima, m.a.W. Hoch- und Tiefpunkten,
und Wendepunkten) auf einer geometrischen Ebene diskutieren. |
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Ableitungen
messen |
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Flash-Animation |
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Dieser
Lernhilfe soll den Ursprung der Ableitung aus der Idee
der Änderungsrate verstehen helfen. Dabei wird
keine geometrische Darstellung, sondern eine dynamische
Visualisierung der Variablenwerte benutzt. Die Aufgabe
besteht darin, die Ableitung der Funktion f(x)
= x2 an einigen Stellen
durch geeignete Differenzenquotienten anzunähern.
Aufgrund der Darstellungsform sind die nötigen
Rechnungen auf das entscheidende Minimum reduziert.
(Siehe auch die "Fortsetzung" Partielle
Ableitungen messen). Flash Player ab Version 6
erforderlich. |
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