Größere Schriftzeichen   

Beweis von (15b):

Die empirische Varianz kann in der Form


s2
  =   		___
a2
 − 
( 		_
 a2
) 		2
  (15b)

geschrieben werden.

Beweis:

Die empirische Varianz ist definiert als
    __________  

s2
  =  
(
a.
−		 _
a2
) 		2
   .
  (15a)

Wir multiplizieren die Klammer aus und erhalten
    __________________  

s2
   =   
a2  −  2 a		 _
a2		  
 + 
(   		_
a2
) 		2      
.

Der Mittelwert von a, der hier zweimal auftritt, ist eine Konstante (die schon vor dem Bilden der empirischen Varianz bestimmt werden kann). Wir bezeichnen sie mit m, womit wir den obigen Ausdruck in der Form
    _____________  
s2    =    a2 −  2 a m + m2

schreiben können. Da das Bilden des Mittelwerts (die Operation, die durch den Strich gekennzeichnet ist) eine lineare Operation ist (vgl. die Formeln (11) und (12) weiter oben in diesem Kapitel), kann der gesamte Ausdruck in eine Summe dreier Terme aufgespaltet werden: Die Summe der letzten beiden Terme ist −2m2 + m2 = −m2, womit sich die empirische Varianz zu

s2
  =   		___
a2
 − 
 m2

ergibt. Da m die Abkürzung für den Mittelwert von a ist, ergibt sich daraus (15b).