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Beweis von (26):

Wird ein Zufallsexperiment, das mit Wahrscheinlichkeit q das Ereignis A ergibt, n mal ausgeführt, so ist die Wahrscheinlichkeit, dass A genau k mal eintritt, durch

pk   =   qk (1 - q)n - k   ⎛  n  ⎞  
⎝ k ⎠
  (26)

gegeben (Binomialverteilung).

Beweis:

Bezeichnen wir das Gegenereignis zu A mit B, so können bei jedem Durchgang des Experiments nur zwei Dinge passieren: Wird das Experiment n mal durchgeführt, so können wir die möglichen Abfolgen von A's und B's als Sequenzen in der Form

ABBAABBAB...BAAABA

schreiben. Da die n Durchgänge voneinander unabhängig durchgeführt werden, ist die Wahrscheinlichkeit jeder einzelnen Sequenz gemäß der "Multiplikationsregel für unabhängige Ereignisse" (Kapitel Wahrscheinlichkeitsrechnung und Statistik 1) gleich

qa(1 - q)b,

wobei a die Zahl der A's und b die Zahl der B's in der Sequenz ist. Die Wahrscheinlichkeit für jede einzelne Sequenz, in der ist daher durch

qk(1 - q)n - k

gegeben. Nun stellen alle diese Sequenzen einander ausschließende Ereignisse dar. Die Wahrscheinlichkeit, dass irgend eine von ihnen eintritt, ist daher gemäß der "Additionsregel für disjunkte Ereignisse" (Kapitel Wahrscheinlichkeitsrechnung und Statistik 1) die Summe der Wahrscheinlichkeiten für die einzelnen Sequenzen. Letztere sind aber alle gleich, und daher ist die gesuchte Wahrscheinlichkeit gleich qk(1 - q)n - k mal der Anzahl der Sequenzen, in denen A genau k mal vorkommt.

Berechnen wir also diese Anzahl: Auf wie viele Weisen können k Objekte (die Platznummern, an denen ein A steht) aus einer Menge von n Objekten (der Menge aller Platznummern in einer Sequenz) ausgewählt werden? Es handelt sich hier um eine "Kombination ohne Wiederholung" (Kapitel Wahrscheinlichkeitsrechnung und Statistik 1): Es gibt genau

⎛  n  ⎞  
⎝ k ⎠

Möglichkeiten, diese Auswahl zu treffen (d.h. k A's in einer Sequenz der Länge n unterzubringen), woraus sich unmittelbar (26) ergibt.