Beweis der Multiplikationsregel für Wahrscheinlichkeiten (16):
Multiplikationsregel für Wahrscheinlichkeiten:
p(AundB) ≡
p(A ∩ B) = p(A|B) p(B).
(16)
Beweis:
Gemäß der Definition der Wahrscheinlichkeit, Formel (3) weiter oben in diesem
Kapitel, ist die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses die für eine gegen unendlich strebende
Anzahl n von Durchführungen des betreffenden Zufallsexperiments vorausgesagte relative Häufigkeit
seines Eintretens.
Stellen wir uns also eine sehr große Zahl n von Durchgängen
des betreffenden Zufallsexperiments vor.
Die Definition der bedingten Wahrscheinlichkeit beruht darauf, dass nur Versuchsausgänge
betrachtet werden, bei denen B eintritt.
Bezeichnen wir die absoluten Häufigkeiten wie folgt:
In r Fällen tritt A auf, aber nicht B.
In s Fällen tritt B auf, aber nicht A.
In t Fällen treten A und B auf.
In u Fällen tritt weder A noch B auf.
Die für (16) relevanten absoluten Häufigkeiten sind daher:
Jene für das Eintreten von A ∩ B ist
t.
Jene für das Eintreten von B ist
s + t.
Jene für das Eintreten von A "unter der Voraussetzung, dass auch
B eingetreten ist"
(was dem Symbol A|B entspricht) ist
t.
Nun gehen wir zu den relativen Häufigkeiten über:
Jene für das Eintreten von A ∩ B ist
t/n.
Jene für das Eintreten von B ist
(s + t)/n.
Bei jener für das Eintreten von A unter der Voraussetzung, dass auch
B eingetreten ist, müssen wir aufpassen:
Die bedingte Wahrscheinlichkeit p(A|B)
entspricht der relativen Häufigkeit in Bezug auf jene
s + t
Versuchsdurchgänge, bei denen
B aufgetreten ist.
Die entsprechende relative Häufigkeit ist daher
t/(s + t).
Im Grenzfall einer gegen unendlich strebenden Anzahl von Versuchsdurchgängen
streben die so ermittelten relativen Häufigkeiten gegen die entsprechenden Wahrscheinlichkeiten.
Setzen wir die relativen Häufigkeiten in (16) ein, so ergibt sich die Identität
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