Beweis: Sinus und Cosinus im rechtwinkeligen Dreieck

Beweis...

...der Beziehungen

sin α =

Gegenkathete

Hypotenuse

cos α =

Ankathete

Hypotenuse

im rechtwinkeligen Dreieck:

Gegeben Sei ein rechtwinkeliges Dreieck, dessen Hypotenuse c mit der Kathete b den Winkel α einschließt. b ist dann die Ankathete; die Gegenkathete nennen wir a.

Wir betrachten ein zweites rechtwinkeliges Dreieck, das denselben Winkel α besitzt, dessen Hypotenuse aber die Länge 1 hat. Aufgrund der Definition der Winkelfunktionen haben die Katheten dieses Hilfsdreiecks die Längen sin α und cos α.
Nun legen wir die beiden Dreiecke, wie in der folgenden Skizze gezeigt, übereinander:

Das ist natürlich deshalb möglich, weil sie den Winkel α gemeinsam haben. Ob das ursprüngliche Dreieck größer oder kleiner als das Hilfsdreieck ist, hängt davon ab, ob c größer oder kleiner als 1 ist. In der obigen Skizze ist c < 1. Das gegebene Dreieck ist mit kräftigen, das Hilfsdreieck mit blassen Farben dargestellt.

Klarerweise sind die beiden Dreiecke zueinander ähnlich. Aufgrund des Strahlensatzes gilt

sin α

und

cos α

was genau die behaupteten Beziehungen sind.

Damit ist auch bewiesen, dass die Verhältnisse a/c und b/c nur vom Winkel α, nicht aber von der Größe des gegebenen Dreiecks abhängen.
Nachbemerkung: Wir sehen anhand dieser Argumentation recht deutlich, dass sin α und cos α als Verkürzungsfaktoren betrachtet werden können: Um diese Faktoren sind die Gegenkathete bzw. die Ankathete kürzer als die Hypotenuse, und sie sind in jedem rechtwinkeligen Dreieck, das den Winkel α besitzt, dieselben.