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Beispiel mit Überraschung:

Aufgabe: Berechnen Sie
(1 - x) (1 + x + x2 + x3 + x4 + x5 + x6 + x7 + x8 + x9)
(1)
durch Ausmultiplizieren der Klammer!

Lösung: Da jeder Summand des ersten Terms mit jedem Summanden des zweiten Terms multipliziert werden muß, ergibt sich

1 + x + x2 + x3 + x4 + x5 + x6 + x7 + x8 + x9
 - x - x2 - x3 - x4 - x5 - x6 - x7 - x8 - x9 - x10
(2)
Sie sehen, daß fast alle Summanden mit beiden Vorzeichen vorkommen, sich also wegheben. (So etwas wird teleskopische Summe genannt. Sie läßt sich wie ein Hand-Teleskop ''zusammenschieben''). Es bleibt einfach
1 - x10
(3)
übrig. Lesen wir dieses Resultat in umgedrehter Reihenfolge: Wir haben es geschafft, den Term 1 - x10 als Produkt - nämlich (1) - darzustellen! Ausführlich angeschrieben: Es gilt
1 - x10 = (1 - x) (1 + x + x2 + x3 + x4 + x5 + x6 + x7 + x8 + x9).
(4)
Wieder anders ausgedrückt, haben wir gezeigt, daß
1 + x + x2 + x3 + x4 + x5 + x6 + x7 + x8 + x9 = 1 - x10
1 - x
(5)
ist. Wenn wir anstelle von x irgendeine Zahl ( ¹ 1) einsetzen, so erhalten wir eine wahre Aussage. Wir können dies benützen, um z.B. (mit x = 1/2)
1 + 1
2
+ 1
4
+ 1
8
+ 1
16
+ 1
32
+ 1
64
+ 1
128
+ 1
256
+ 1
512
(6)
schnell auszurechnen, ohne all diese Terme addieren zu müssen! (Machen Sie es!) (Lösung: Sie müssen nur (1- (1/2)10)/(1-1/2), also (1 - 0.510) × 2 berechnen! Nehmen Sie einen Rechner zu Hilfe!)

Dasselbe funktioniert für gleich aufgebaute Terme anderer Länge ebenso. Können Sie eine allgemeine Regel dafür formulieren?