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Das Pascalsche Dreieck
1
1
1
1
2
1
1
3
3
1
1
4
6
4
1
1
5
10
10
5
1
1
6
15
20
15
6
1
1
1
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Es wird durch folgende einfache Regel konstruiert:
Jede Zeile beginnt und endet mit 1. Der Wert jeder anderen Eintragung ist die Summe der beiden schräg über ihr stehenden
.
Versuchen Sie, die fehlenden Eintragungen einzufügen!
Was das Pascalsche Dreieck so erstaunlich macht:
Die
n
-te Zeile dieses Zahlenschemas enthält genau die Koeffizienten, die beim Ausmultiplizieren von
(
a
+
b
)
n
auftreten, wobei mit
n
= 0 zu zählen begonnen wird:
Die nullte Zeile entspricht der Identität
(
a
+
b
)
0
= 1
Die erste Zeile entspricht der Identität
(
a
+
b
)
1
=
a
+
b
Die zweite Zeile entspricht der Identität
(
a
+
b
)
2
=
a
2
+ 2
a
b
+
b
2
Die dritte Zeile entspricht der Identität
(
a
+
b
)
3
=
a
3
+ 3
a
2
b
+ 3
a
b
2
+
b
3
usw.
Erkennen Sie die im Dreieck auftretenden Zahlen wieder? Vielleicht fällt es Ihnen ein bißchen schwer, denn wenn ein Koeffizient gleich 1 ist, wird er nicht eigens angeschrieben, und daher sehen Sie keine Einser in dieser Aufstellung. Fügen wir die Einser aber ein (schreiben wir also z.B.
a
als 1
a
, d.h. 1 ×
a
), heben alle Koeffizienten hervor und rücken die Terme ein bißchen zurecht, so sieht die Aufstellung so aus:
Die nullte Zeile entspricht der Identität
(
a
+
b
)
0
=
1
Die erste Zeile entspricht der Identität
(
a
+
b
)
1
=
1
a
+
1
b
Die zweite Zeile entspricht der Identität
(
a
+
b
)
2
=
1
a
2
+
2
a
b
+
1
b
2
Die dritte Zeile entspricht der Identität
(
a
+
b
)
3
=
1
a
3
+
3
a
2
b
+
3
a
b
2
+
1
b
3
usw.
Hier haben wir die Zahlen des Pascalschen Dreiecks!
Die Konstruktion kann beliebig weit fortgesetzt werden. Das Pascalsche Dreieck ist unendlich groß. Man kann
beweisen
- obwohl wir das hier nicht tun -, daß es
immer
die richtigen Koeffizienten liefert.