Ein Dreieck sei wie in der nebenstehenden Skizze durch zwei Vektoren
a und
b definiert. Als Seitenlängen
bezeichnen wir
a = |a|
b = |b|
c = |a − b|
Um c durch
a, b und den Winkel
γ auszudrücken,
erinnern wir uns (siehe Kapitel
Vektoren 2), dass das Quadrat des Betrages eines Vektors u durch
|u|2 =
u2 ≡
uu
(Skalarprodukt mit sich selbst) gegeben ist und berechnen
c2
= (a − b)2
= a2 + b2
− 2ab =
=
a2 + b2
− 2ab.
Nun ist das Skalarprodukt der Vektoren a und
b, wie im Kapitel
Vektoren 2 besprochen,
durch
ab =
|a|
|b|
cosγ =
abcosγ
gegeben (γ ist der Winkel, den sie einschließen), womit sich unmittelbar der Cosinussatz
c2 =
a2 + b2 −
2abcosγ
ergibt.
Nachbemerkung:
Der Beweis zeigt die enge Verwandtschaft zwischen dem
Skalarprodukt für Vektoren und dem Cosinussatz.
Er beruht auf den beiden Beziehungen
ab =
|a|
|b|
cosγ
und
ab
=
1
2
(
|a|2
+
|b|2
− |a −
b|2 ) .
Die erste verbindet das Skalarprodukt mit dem von zwei Vektoren eingeschlossenen Winkel,
die zweite illustriert, dass das Skalarprodukt auf Beträge (d.h. Längen) von Vektoren zurückgeführt
werden kann. Gemeinsam führen sie unmittelbar auf den Cosinussatz.
a
a und
b definiert. Als Seitenlängen
bezeichnen wir