Sinussatz im stumpfwinkeligen Dreieck:
Behauptung: Der Sinussatz
gilt auch in stumpfwinkeigen Dreiecken.
Beweis: Wir nehmen (ohne Beschränkung der Allgemeinheit) an, dass der
Winkel β stumpf (d.h. größer als 90°) ist:
Wir fällen die Höhe auf die Seite c,
die nun außerhalb des Dreiecks liegt:
Ganz analog zum spitzwinkeligen Fall berechnen wir hc
auf zweierlei Arten:
- Im rechtwinkeligen Dreieck ADC (in dem die Seite b die Rolle der Hypotenuse spielt) erhalten wir
sin
α = hc/b,
daher
hc = bsinα.
- Im rechtwinkeligen Dreieck BDC (in dem die Seite a die Rolle der Hypotenuse spielt) ergibt sich
sinβ' = hc/a,
daher
hc = asinβ',
wobei β' = 180° − β.
Nun gilt, wie im Kapitel Winkelfunktionen besprochen,
sin(180°
− β)
= sinβ,
d.h. sinβ'
= sinβ.
Damit ergibt sich
| b sinα =
a sinβ, |
|
woraus unmittelbar
a
sinα |
= |
b
sinβ |
|
|
folgt. Die gleiche Argumentation kann mit der Höhe auf die Seite a
durchgespielt werden, was auf
c
sinγ |
= |
b
sinβ |
|
|
führt und damit die Gültigkeit des kompletten Sinussatzes (5) erweist.