Stetigkeitsbeweis

Stetigkeitsbeweis

Um zu beweisen, dass die durch

\begin{eqnarray}&&k:\mathbb{R}\to \mathbb{R}\\ &&k(x) = \left\{\begin{array}{l}\,\,\,\,\,0 &&{\sf für}\quad x=0\\ x\,\sin\left({1\over x}\right) &&{\sf für}\quad x\neq 0\end{array}\right. \end{eqnarray}

definierte Funktion an der Stelle $0$ stetig ist, betrachten wir irgendeine Folge reeller Zahlen $\langle x_n\rangle$, die alle $\neq 0$ sind, und die gegen $0$ konvergiert. Die Folge $\langle k(x_n)\rangle$ der Funktionswerte ist dann durch $$k(x_n)=x_n\,\sin\left({1\over x_n}\right)$$ gegeben. Der erste Faktor, $x_n$, stellt laut Voraussetzung eine Nullfolge dar, der zweite Faktor, $\sin({1\over x})$ liegt stets zwischen $-1$ und $1$. Daher konvergiert die Folge $\langle|k(x_n)|\rangle$ und mit ihr auch die Folge $\langle k(x_n)\rangle$ gegen $0$, also genen $k(0)$.

Um tatsächlich alle Folgen $\langle x_n\rangle$, die gegen $0$ konvergieren, zu berücksichtigen, bemerken wir noch, dass sich an der Implikation
$$\lim_{n\to\infty}x_n=0\qquad\Rightarrow\qquad \lim_{n\to\infty}k(x_n)=k(0)$$
nichts ändert, wenn unter den $x_n$ auch Zahlen vorkommen, die gleich $0$ sind. Damit ist bewiesen, dass die Funktion $k$ an der Stelle $0$ stetig ist. Ihr Graph sieht so aus

oder, etwas tiefer hineingezoomt:

In beiden Skizzen ist die Stelle $0$ als kleiner blauer Kreis gekennzeichnet. Hier gibt uns das intuitive Kriterium "eine Funktion ist stetig, wenn ihr Graph ohne abzusetzen gezeichnet werden kann" zumindest das starkte Gefühl (das natürlich einen Beweis wie den oben vorgeführten nicht ersetzen kann), dass es sich um eine stetige Funktion handelt.