Bemerkungen zu ∩, ∪, ⊆
und den logischen
Operationen:
Das Bilden eines Durchschnitts führt auf ''kleinere'' als die ursprünglichen Mengen. Daher ist
A ∩ U sowohl Teilmenge von A als auch Teilmenge von U, d.h.
Das Bilden einer Vereinigung führt auf ''größere'' als die ursprünglichen Mengen. Daher ist
sowohl A als auch C Teilmenge von A ∪ C, d.h.
Als Spezialfall haben wir A ∩ A = A ∪ A = A.
Diese Beziehungen gelten nicht nur für unsere Beispiele, sondern für beliebige Mengen
A, U und C. Sie lassen sich sehr leicht formal beweisen, indem mit den
logischen Begriffen und und oder korrekt umgegangen wird.
So wird etwa die Beziehung A ∩ U ⊆ A (für zwei beliebige Mengen A und U)
so bewiesen:
Sei x ∈ A ∩ U. Das ist gleichbedeutend mit
''x ∈ A und x ∈ U ''. Folglich ist x ∈ A. Insgesamt gilt also
x ∈ A ∩ U ⇒ x ∈ A, was mit A ∩ U ⊆ A gleichbedeutend ist.
Schreiben Sie diesen Beweis auf ein Blatt Papier!
Versuchen Sie, auch die anderen dieser Beziehungen ebenso formal zu beweisen!
Daraus läßt sich vermuten, daß die Mengenoperationen
∩ und ∪ in enger Beziehungen zu den ''logischen Operationen''
und und oder stehen.
(Letztere werden daher auch manchmal mit den Symbolen ∧ und ∨ bezeichnet).
Diese Beobachtung führt in das Gebiet der
Aussagenlogik, in der Rechen- und Argumentationstechniken (namens ''Boole'sche Algebra'')
angewandt werden, die dem Hantieren mit Mengen ganz ähnlich sind.
Mehr davon im Kapitel Mathematische Strukturen
und Räume (in Vorbereitung).