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Beweise: Kommutativität, Assoziativität, Distributivgesetz:
Die Beziehungen (11) und (14) definieren – durch reelle Zahlenpaare ausgedrückt – die
Operationen Addition und Multiplikation für komplexe Zahlen.
Beweis der Kommutativität der Addition:
Es ist zu zeigen, dass stets $$(x_1,y_1)+(x_2,y_2)=(x_2,y_2)+(x_1,y_1)$$ gilt:
- Linke Seite: $(x_1,y_1)+(x_2,y_2)=(x_1+x_2,y_1+y_2)$
- Rechte Seite: $(x_2,y_2)+(x_1,y_1)=(x_2+x_1,y_2+y_1)=(x_1+x_2,y_1+y_2)$
Beweis der Kommutativität der Multiplikation:
Es ist zu zeigen, dass stets $$(x_1,y_1)(x_2,y_2)=(x_2,y_2)(x_1,y_1)$$ gilt:
- Linke Seite: $(x_1,y_1)(x_2,y_2)=(x_1x_2-y_1y_2,x_1 y_2+y_1 x_2)$
- Rechte Seite: $(x_2,y_2)(x_1,y_1)=(x_2x_1-y_2y_1,x_2 y_1+y_2 x_1)=$
$=(x_1x_2-y_1y_2,x_1 y_2+y_1 x_2)$
Beweis der Assoziativität der Addition:
Es ist zu zeigen, dass stets $$\Big((x_1,y_1)+(x_2,y_2)\Big)+(x_3,y_3)=(x_1,y_1)+\Big((x_2,y_2)+(x_3,y_3)\Big)$$ gilt:
- Wieder ist die Rechnung ganz einfach: Beide Seiten reduzierern sich auf $(x_1+x_2+x_3,y_1+y_2+y_3)$.
Beweis der Assoziativität der Multiplikation:
Es ist zu zeigen, dass stets $$\Big((x_1,y_1)(x_2,y_2)\Big)(x_3,y_3)=(x_1,y_1)\Big((x_2,y_2)(x_3,y_3)\Big)$$ gilt.
Hier ist ein bisschen mehr zu rechnen:
- Die linke Seite wird durch Anwendung von (14) zu $(x_1x_2-y_1y_2,x_1 y_2+y_1 x_2)(x_3,y_3)$.
Nach einer nochmaligen Anwendung von (14) nimmt sie die Form
$\Big((x_1x_2-y_1y_2)x_3-(x_1 y_2+y_1 x_2)y_3,(x_1x_2-y_1y_2)y_3+(x_1 y_2+y_1 x_2)x_3\Big)$
an,
was leicht zu
$(x_1x_2x_3-y_1y_2x_3-x_1 y_2y_3-y_1 x_2y_3,x_1x_2y_3-y_1y_2y_3+x_1 y_2x_3+y_1 x_2x_3)$
ausmultipliziert werden kann.
- Die rechte Seite können wir – da die Kommutativität bereits gezeigt ist – zu
$\Big((x_2,y_2)(x_3,y_3)\Big)(x_1,y_1)$ umschreiben. Sie hat die gleiche Struktur wie die linke Seite, wenn in dieser die
Indizes gemäß $1\rightarrow 2\rightarrow 3\rightarrow 1$ ersetzt werden.
Führen wir diese Ersetzung im ausmultiplizierten Ergebnis für die linke Seite durch, so geht
es in sich selbst über, womit die Assoziativität bewiesen ist.
Beweis des Distrubutivgesetzes:
Es ist zu zeigen, dass stets $$(x_1,y_1)\Big((x_2,y_2)+(x_3,y_3)\Big)=(x_1,y_1)(x_2,y_2)+(x_1,y_1)(x_3,y_3)$$ gilt.
- Linke Seite: $(x_1,y_1)(x_2+x_3,y_2+y_3)=$
$=\Big(x_1(x_2+x_3)-y_1(y_2+y_3),x_1 (y_2+y_3)+y_1 (x_2+x_3)\Big)$
$=(x_1x_2+x_1x_3-y_1y_2-y_1y_3,x_1y_2+x_1y_3+y_1x_2+y_1x_3)$
- Rechte Seite: $(x_1x_2-y_1y_2,x_1 y_2+y_1 x_2)+(x_1x_3-y_1y_3,x_1 y_3+y_1 x_3)$
$=(x_1x_2-y_1y_2+x_1x_3-y_1y_3,x_1 y_2+y_1 x_2+x_1 y_3+y_1 x_3)$
Die beiden Seiten sind gleich, womit auch das Distributivgesetz bewiesen ist.